Represente graficamente os seguintes campos vetoriais.
Passo 1
O enunciado pede que eu represente graficamente o campo vetorial
Informações dadas e perguntas claras:
- O campo é dado por três componentes: a componente em
é , a componente em é e a componente em é . - Não há dependência explícita em
; as componentes dependem apenas de e . - A tarefa é representar graficamente esse campo — isto é, descrever e indicar como desenhar as setas em pontos do espaço e caracterizar o comportamento geral (projeção no plano
, inclinação no sentido , linhas de fluxo).
Passo 2
O que significa representar graficamente um campo vetorial (aula rápida):
- Num campo vetorial em 3D, em cada ponto
colocamos uma seta cujo vetor é — a seta parte do ponto e tem direção e comprimento dados pelas componentes do vetor. - Cada componente explica a contribuição em cada eixo:
-
indica quanto o vetor aponta no sentido positivo/negativo de . -
indica quanto o vetor aponta no sentido de . -
indica quanto o vetor aponta no sentido de .
-
- Para desenhar à mão: escolha uma grade de pontos
, calcule em cada um, e desenhe as setas. Pode-se normalizar ou escalonar as setas para caber no desenho.
Passo 3
Análise das componentes horizontais (projeção no plano
) — entenda o comportamento circular:
- A projeção horizontal é o vetor
. - Calcule o produto escalar entre o vetor posição
e a projeção horizontal: Ou seja, a projeção horizontal é sempre perpendicular ao vetor radial . - Conclusão: no plano
a direção do campo é tangente às circunferências centradas na origem. O sentido é anti-horário (contrário ao sentido horário). Exemplos: - Em
: (aponta + e + ). - Em
: (aponta − e + ).
- Em
- A magnitude da parte horizontal é
(onde é a distância ao eixo ). Logo, quanto mais longe da origem, maior a componente tangencial.
Passo 4
Magnitude total do vetor e interpretação geométrica:
- A magnitude de
é - Observações práticas para desenho:
- A componente vertical é constante e igual a
; todas as setas têm a mesma projeção em . - Horizontalmente as setas são tangentes às circunferências e têm módulo igual a
. - Portanto, graficamente, as setas ficam inclinadas para cima com inclinação que cresce (relativamente) quando
aumenta, porque a componente horizontal cresce com enquanto a vertical é fixa.
- A componente vertical é constante e igual a
Passo 5
Exemplos numéricos de vetores em pontos-chave (para você desenhar passo-a-passo):
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Como desenhar: marque esses pontos no planoe desenhe as setas correspondentes; depois replique a mesma seta nos mesmos para outros valores de (o campo não depende de ).
Passo 6
Como representar a projeção no plano
(desenho 2D útil para prova):
- Desenhe algumas circunferências centradas na origem (por exemplo,
). - Em vários pontos sobre cada circunferência desenhe setas tangenciais apontando no sentido anti-horário.
- Ajuste o comprimento da seta proporcional a
. Para evitar setas enormes, você pode escalar por um fator (por ex. dividir por ) ou normalizar as setas mantendo apenas a direção.
Passo 7
Representação 3D e linhas de fluxo (curvas integrais) — por que hélices:
- As equações das linhas de fluxo são obtidas resolvendo o sistema de ODEs
- Da combinação das duas primeiras equações temos
cuja solução é uma rotação harmônica. Uma solução geral (com e fase ) é - Como
temos - Conclusão: as linhas de fluxo são hélices de raio constante
em torno do eixo , subindo com velocidade constante no eixo . Graficamente: círculos no plano quando projetadas, mas em 3D são hélices que sobem.
Passo 8
Dicas práticas para desenhar (à mão ou com software):
- À mão: escolha uma grade
como . Calcule em cada ponto e desenhe setas com tamanho proporcional ao comprimento (ou normalize). Indique alguns segmentos de linhas de fluxo integrando aproximadamente (seguindo a direção das setas). - No computador: use software que desenhe campos vetoriais (por ex. Python+Matplotlib quiver 3D, Mathematica, GeoGebra 3D). Como o campo é independente de
, plote camadas em vários valores de para visualizar a repetição vertical e as hélices. - Para enfatizar a forma helicoidal, escolha pontos iniciais
e trace a curva paramétrica dada no passo anterior.
Resposta
Projeção no plano
: vetores tangentes às circunferências centradas na origem, sentido anti-horário, com módulo igual a
.
Componente em : constante igual a
, fazendo as setas inclinarem para cima.
Magnitude do vetor: .
Linhas de fluxo (curvas integrais): hélices dadas por
Componente em
Magnitude do vetor:
Linhas de fluxo (curvas integrais): hélices dadas por