Represente graficamente os seguintes campos vetoriais.
\vec{h}(x, y)=-y \vec{i}+x \vec{j}+\vec{k}

Passo 1

O enunciado pede que eu represente graficamente o campo vetorial
\vec{h}(x,y)=-y\vec{i}+x\vec{j}+\vec{k}.
Informações dadas e perguntas claras:
  • O campo é dado por três componentes: a componente em x é -y, a componente em y é x e a componente em z é 1.
  • Não há dependência explícita em z; as componentes dependem apenas de x e y.
  • A tarefa é representar graficamente esse campo — isto é, descrever e indicar como desenhar as setas em pontos do espaço e caracterizar o comportamento geral (projeção no plano xy, inclinação no sentido z, linhas de fluxo).

Passo 2

O que significa representar graficamente um campo vetorial (aula rápida):
  • Num campo vetorial em 3D, em cada ponto (x,y,z) colocamos uma seta cujo vetor é \vec{h}(x,y) — a seta parte do ponto e tem direção e comprimento dados pelas componentes do vetor.
  • Cada componente explica a contribuição em cada eixo:
    • -y indica quanto o vetor aponta no sentido positivo/negativo de x.
    • x indica quanto o vetor aponta no sentido de y.
    • 1 indica quanto o vetor aponta no sentido de z.
  • Para desenhar à mão: escolha uma grade de pontos (x,y), calcule \vec{h} em cada um, e desenhe as setas. Pode-se normalizar ou escalonar as setas para caber no desenho.

Passo 3

Análise das componentes horizontais (projeção no plano xy) — entenda o comportamento circular:
  • A projeção horizontal é o vetor (-y,x).
  • Calcule o produto escalar entre o vetor posição (x,y) e a projeção horizontal: (x,y)\cdot(-y,x)=x(-y)+y(x)=0.Ou seja, a projeção horizontal é sempre perpendicular ao vetor radial (x,y).
  • Conclusão: no plano xy a direção do campo é tangente às circunferências centradas na origem. O sentido é anti-horário (contrário ao sentido horário). Exemplos:
    • Em (1,0): \vec{h}=(0,1,1) (aponta + y e + z).
    • Em (0,1): \vec{h}=(-1,0,1) (aponta − x e + z).
  • A magnitude da parte horizontal é \sqrt{(-y)^2+x^2}=\sqrt{x^2+y^2}=r (onde r é a distância ao eixo z). Logo, quanto mais longe da origem, maior a componente tangencial.

Passo 4

Magnitude total do vetor e interpretação geométrica:
  • A magnitude de \vec{h}(x,y) é \|\vec{h}\|=\sqrt{(-y)^2+x^2+1}=\sqrt{x^2+y^2+1}.
  • Observações práticas para desenho:
    • A componente vertical é constante e igual a 1; todas as setas têm a mesma projeção em z.
    • Horizontalmente as setas são tangentes às circunferências e têm módulo igual a r.
    • Portanto, graficamente, as setas ficam inclinadas para cima com inclinação que cresce (relativamente) quando r aumenta, porque a componente horizontal cresce com r enquanto a vertical é fixa.

Passo 5

Exemplos numéricos de vetores em pontos-chave (para você desenhar passo-a-passo):
  • Em (1,0,0): \vec{h}=(0,1,1).
  • Em (0,1,0): \vec{h}=(-1,0,1).
  • Em (-1,0,0): \vec{h}=(0,-1,1).
  • Em (0,-1,0): \vec{h}=(1,0,1).
  • Em (1,1,0): \vec{h}=(-1,1,1).
    Como desenhar: marque esses pontos no plano z=0 e desenhe as setas correspondentes; depois replique a mesma seta nos mesmos (x,y) para outros valores de z (o campo não depende de z).

Passo 6

Como representar a projeção no plano xy (desenho 2D útil para prova):
  • Desenhe algumas circunferências centradas na origem (por exemplo, r=0{,}5,1,2).
  • Em vários pontos sobre cada circunferência desenhe setas tangenciais apontando no sentido anti-horário.
  • Ajuste o comprimento da seta proporcional a r. Para evitar setas enormes, você pode escalar por um fator (por ex. dividir por 1{,}5) ou normalizar as setas mantendo apenas a direção.

Passo 7

Representação 3D e linhas de fluxo (curvas integrais) — por que hélices:
  • As equações das linhas de fluxo são obtidas resolvendo o sistema de ODEs \frac{dx}{dt}=-y,\qquad \frac{dy}{dt}=x,\qquad \frac{dz}{dt}=1.
  • Da combinação das duas primeiras equações temos \frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{dy}{dt}=-x \quad\Rightarrow\quad x''+x=0,cuja solução é uma rotação harmônica. Uma solução geral (com r e fase \varphi) é x(t)=r\cos(t+\varphi),\qquad y(t)=r\sin(t+\varphi).
  • Como dz/dt=1 temos z(t)=t+z_0.
  • Conclusão: as linhas de fluxo são hélices de raio constante r em torno do eixo z, subindo com velocidade constante no eixo z. Graficamente: círculos no plano xy quando projetadas, mas em 3D são hélices que sobem.

Passo 8

Dicas práticas para desenhar (à mão ou com software):
  • À mão: escolha uma grade (x,y) como \{-2,-1,0,1,2\}\times\{-2,-1,0,1,2\}. Calcule \vec{h} em cada ponto e desenhe setas com tamanho proporcional ao comprimento (ou normalize). Indique alguns segmentos de linhas de fluxo integrando aproximadamente (seguindo a direção das setas).
  • No computador: use software que desenhe campos vetoriais (por ex. Python+Matplotlib quiver 3D, Mathematica, GeoGebra 3D). Como o campo é independente de z, plote camadas em vários valores de z para visualizar a repetição vertical e as hélices.
  • Para enfatizar a forma helicoidal, escolha pontos iniciais (r\cos\varphi,r\sin\varphi,z_0) e trace a curva paramétrica dada no passo anterior.

Resposta

Projeção no plano xy: vetores tangentes às circunferências centradas na origem, sentido anti-horário, com módulo igual a r=\sqrt{x^2+y^2}.
Componente em z: constante igual a 1, fazendo as setas inclinarem para cima.
Magnitude do vetor: \|\vec{h}\|=\sqrt{x^2+y^2+1}.
Linhas de fluxo (curvas integrais): hélices dadas por
x(t)=r\cos(t+\varphi),\qquad y(t)=r\sin(t+\varphi),\qquad z(t)=t+z_0.

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