Se a poluição
, em cada ponto, é dada por
, determine o sentido que se deve seguir, a partir de
, para alcançar os pontos mais despoluídos. Qual a velocidade de despoluição nesta direção?
Passo 1
O enunciado dá a poluição em cada ponto por
e pede duas coisas partindo do ponto
:
- o sentido (vetor direcional unitário) que devemos seguir para alcançar os pontos mais despoluídos;
- a velocidade de despoluição nessa direção.
Informações relevantes extraídas do enunciado: o valor explícito da funçãoe o ponto inicial . Não há outras condições adicionais.
Passo 2
Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
- O gradiente
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de . Ele aponta na direção de maior aumento de . - A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário é dada por
ou seja, produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
- Logo, a direção de maior diminuição de
(mais despoluição por unidade de deslocamento) é a direção oposta ao gradiente, isto é, . Para obter uma direção pura (sem escala) usamos o vetor unitário na direção :
- A velocidade máxima de diminuição (taxa de despoluição por unidade de comprimento na melhor direção) é o valor de
quando , e vale (um número negativo, indicando queda).
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Defina o denominador
Então
. Usando a regra da cadeia,
Assim o gradiente é
Passo 4
Avalie
no ponto
. Primeiro calcule
em
:
Agora substitua:
Podemos factorar para deixar mais claro:
Passo 5
Direção de maior despoluição: é a direção de
. Calcule o vetor unitário nessa direção. Primeiro calcule a norma de
:
O vetor
é
Dividindo pelo comprimento para obter o unitário,
Portanto, a direção (vetor unitário) a seguir a partir de
para alcançar os pontos mais despoluídos é
Passo 6
Velocidade de despoluição nessa direção: compute a derivada direcional
. Pelo resultado geral isso vale
. Usando o valor da norma:
Esse número é negativo, indicando que
diminui nessa direção. Em unidades,
é dado em
, portanto
tem unidades de
por unidade de comprimento no sistema de coordenadas
. Se quiser uma aproximação numérica:
Resposta
Direção:
Velocidade de despoluição nessa direção:
Velocidade de despoluição nessa direção: