Se a poluição P, em cada ponto, é dada por P(x, y, z)=\frac{100}{1+x^{2}+3 y^{2}+z}(\%), determine o sentido que se deve seguir, a partir de S(2,1,3), para alcançar os pontos mais despoluídos. Qual a velocidade de despoluição nesta direção?

Passo 1

O enunciado dá a poluição em cada ponto por
P(x,y,z)=\frac{100}{1+x^{2}+3y^{2}+z}\%,
e pede duas coisas partindo do ponto S(2,1,3):
  1. o sentido (vetor direcional unitário) que devemos seguir para alcançar os pontos mais despoluídos;
  2. a velocidade de despoluição nessa direção.
    Informações relevantes extraídas do enunciado: o valor explícito da função P(x,y,z) e o ponto inicial S(2,1,3). Não há outras condições adicionais.

Passo 2

Conceitos que vamos usar (explicados de forma simples):
  • O gradiente \nabla P é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de P. Ele aponta na direção de maior aumento de P.
  • A derivada direcional de P na direção de um vetor unitário u é dada por
D_{u}P=\nabla P\cdot u,
ou seja, produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
  • Logo, a direção de maior diminuição de P (mais despoluição por unidade de deslocamento) é a direção oposta ao gradiente, isto é, -\nabla P. Para obter uma direção pura (sem escala) usamos o vetor unitário na direção -\nabla P:
u_{\text{dec}}=-\frac{\nabla P}{\|\nabla P\|}.
  • A velocidade máxima de diminuição (taxa de despoluição por unidade de comprimento na melhor direção) é o valor de D_{u}P quando u=u_{\text{dec}}, e vale -\|\nabla P\| (um número negativo, indicando queda).

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de P. Defina o denominador
D(x,y,z)=1+x^{2}+3y^{2}+z.
Então \;P(x,y,z)=100\,D^{-1}. Usando a regra da cadeia,
\frac{\partial P}{\partial x}=-100 D^{-2}\frac{\partial D}{\partial x}=-100 D^{-2}\cdot 2x = -\frac{200x}{D^{2}},
\frac{\partial P}{\partial y}=-100 D^{-2}\frac{\partial D}{\partial y}=-100 D^{-2}\cdot 6y = -\frac{600y}{D^{2}},
\frac{\partial P}{\partial z}=-100 D^{-2}\frac{\partial D}{\partial z}=-100 D^{-2}\cdot 1 = -\frac{100}{D^{2}}.
Assim o gradiente é
\nabla P(x,y,z) = \left(-\frac{200x}{D^{2}},\; -\frac{600y}{D^{2}},\; -\frac{100}{D^{2}}\right).

Passo 4

Avalie \nabla P no ponto S(2,1,3). Primeiro calcule D em S:
D(2,1,3)=1+2^{2}+3\cdot1^{2}+3=1+4+3+3=11.
Agora substitua:
\nabla P(2,1,3)=\left(-\frac{200\cdot 2}{11^{2}},\; -\frac{600\cdot 1}{11^{2}},\; -\frac{100}{11^{2}}\right) =\left(-\frac{400}{121},\; -\frac{600}{121},\; -\frac{100}{121}\right).
Podemos factorar para deixar mais claro:
\nabla P(2,1,3)=-\frac{100}{121}(4,6,1).

Passo 5

Direção de maior despoluição: é a direção de -\nabla P(2,1,3). Calcule o vetor unitário nessa direção. Primeiro calcule a norma de \nabla P(2,1,3):
\|\nabla P(2,1,3)\|=\frac{100}{121}\sqrt{4^{2}+6^{2}+1^{2}}=\frac{100}{121}\sqrt{16+36+1}=\frac{100}{121}\sqrt{53}.
O vetor -\nabla P(2,1,3) é
-\nabla P(2,1,3)=\frac{100}{121}(4,6,1).
Dividindo pelo comprimento para obter o unitário,
u_{\text{dec}}=-\frac{\nabla P(2,1,3)}{\|\nabla P(2,1,3)\|} =\frac{\frac{100}{121}(4,6,1)}{\frac{100}{121}\sqrt{53}} =\frac{(4,6,1)}{\sqrt{53}}.
Portanto, a direção (vetor unitário) a seguir a partir de S para alcançar os pontos mais despoluídos é
\frac{(4,6,1)}{\sqrt{53}}.

Passo 6

Velocidade de despoluição nessa direção: compute a derivada direcional D_{u_{\text{dec}}}P=\nabla P(2,1,3)\cdot u_{\text{dec}}. Pelo resultado geral isso vale -\|\nabla P(2,1,3)\|. Usando o valor da norma:
D_{u_{\text{dec}}}P = -\frac{100}{121}\sqrt{53}.
Esse número é negativo, indicando que P diminui nessa direção. Em unidades, P é dado em \%, portanto D_{u_{\text{dec}}}P tem unidades de \% por unidade de comprimento no sistema de coordenadas (x,y,z). Se quiser uma aproximação numérica:
\sqrt{53}\approx 7,2801\quad\Rightarrow\quad D_{u_{\text{dec}}}P\approx -\frac{100\cdot 7{,}2801}{121}\approx -6{,}02\\ (\%\\ \text{por unidade}).

Resposta

Direção: \displaystyle \frac{(4,6,1)}{\sqrt{53}}
Velocidade de despoluição nessa direção: \displaystyle -\frac{100\sqrt{53}}{121}\% \text{ por unidade de comprimento}

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