Calcule a integral de linha \int_{C} F \cdot d r, onde C é dada pela função vetorial r(t).
F(x, y)=\left\langle x^{2} y^{3},-y \sqrt{x}\right\rangle e r(t)=\left\langle t^{3},-t^{3}\right\rangle, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot d r onde estão dadas as seguintes informações:
F(x,y)=\left\langle x^{2}y^{3},\,-y\sqrt{x}\right\rangle
r(t)=\left\langle t^{3},\,-t^{3}\right\rangle,\quad 0\le t\le 1.
Pergunta: calcular o valor numérico da integral de linha \displaystyle \int_{C} F\cdot d r ao longo da curva parametrizada por r(t) para t de 0 a 1.

Passo 2

Recordando a definição prática que vamos usar: para uma curva parametrizada r(t)=(x(t),y(t)) com t\in[a,b],
\int_{C} F\cdot d r=\int_{a}^{b} F(r(t))\cdot r'(t)\,dt.
Aqui F(r(t)) significa substituir x=x(t) e y=y(t) em F, e r'(t) é a derivada componente a componente de r. Vou calcular r'(t).
Derivando componente a componente:
r(t)=\langle t^{3},-t^{3}\rangle \quad\Rightarrow\quad r'(t)=\langle 3t^{2},-3t^{2}\rangle.

Passo 3

Agora faço a composição F(r(t)), ou seja x=t^{3} e y=-t^{3} substituídos em F.
Primeira componente de F:
x^{2}y^{3}=(t^{3})^{2}\bigl(-t^{3}\bigr)^{3}=t^{6}\cdot(-1)^{3}\cdot t^{9}=-t^{15}.
Expliquei passo a passo: (t^{3})^{2}=t^{6} e \bigl(-t^{3}\bigr)^{3}=-t^{9}, multiplicando dá -t^{15}.
Segunda componente de F:
-y\sqrt{x}=-\bigl(-t^{3}\bigr)\sqrt{t^{3}}=t^{3}\cdot t^{3/2}=t^{3+3/2}=t^{9/2}.
Aqui usei \sqrt{t^{3}}=t^{3/2} (válido em t\ge0, e temos t\in[0,1] então tudo bem).
Portanto
F(r(t))=\bigl\langle -t^{15},\,t^{9/2}\bigr\rangle.

Passo 4

Faço agora o produto escalar F(r(t))\cdot r'(t):
F(r(t))\cdot r'(t)=\langle -t^{15},\,t^{9/2}\rangle\cdot\langle 3t^{2},\,-3t^{2}\rangle.
Calculando componente a componente:
(-t^{15})(3t^{2})+(t^{9/2})(-3t^{2})=-3t^{17}-3t^{9/2+2}.
Somando os expoentes em t^{9/2+2}:
9/2+2=\frac{9}{2}+\frac{4}{2}=\frac{13}{2},
logo o integrando fica
F(r(t))\cdot r'(t)=-3t^{17}-3t^{13/2}.

Passo 5

Aplicando a fórmula da integral de linha:
\int_{C}F\cdot dr=\int_{0}^{1}\bigl(-3t^{17}-3t^{13/2}\bigr)\,dt.
Agora lembro uma regra básica de integração que usamos muito em prova: para qualquer n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Isso vale também para expoentes fracionários (por exemplo n=\tfrac{13}{2}). Vou integrar termo a termo.

Passo 6

Integrando:
\int_{0}^{1}-3t^{17}\,dt=-3\cdot\frac{t^{18}}{18}\Big|_{0}^{1}=-3\cdot\frac{1}{18}+0=-\frac{1}{6}.
E
\int_{0}^{1}-3t^{13/2}\,dt=-3\cdot\frac{t^{15/2}}{15/2}\Big|_{0}^{1}=-3\cdot\frac{2}{15}+0=-\frac{6}{15}=-\frac{2}{5}.
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{1}\bigl(-3t^{17}-3t^{13/2}\bigr)\,dt=-\frac{1}{6}-\frac{2}{5}.
Fazendo a soma de frações com denominador comum 30:
-\frac{1}{6}-\frac{2}{5}=-\frac{5}{30}-\frac{12}{30}=-\frac{17}{30}.

Resposta

-\dfrac{17}{30}

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