Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{2}, W=\left\{(x, 3 x-4) \in \mathbb{R}^{2} \mid x \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = \{(x,3x-4)\in \mathbb{R}^2 \mid x\in \mathbb{R}\}
é subespaço de V=\mathbb{R}^2. Para isso, lembramos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se e somente se:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. W é fechado sob soma: para quaisquer u,v\in W, tem-se u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: para qualquer u\in W e \lambda\in\mathbb{R}, tem-se \lambda u\in W.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0). Se (0,0) estivesse em W, existiria x\in\mathbb{R} tal que
(x,3x-4) = (0,0).
Comparando coordenadas, x=0 e 3x-4=0 levaria a -4=0, o que é impossível. Logo, (0,0)\notin W.

Passo 3

Como (0,0) não pertence a W, falha imediatamente a condição (1) para subespaço. Poderíamos também checar que a soma de dois vetores de W não permanece em W, por exemplo:
(x_1,3x_1-4)+(x_2,3x_2-4) =(x_1+x_2,\;3(x_1+x_2)-8),
e 3(x_1+x_2)-8\neq 3(x_1+x_2)-4, mostrando falta de fechamento sob soma.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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