Seja W=\{(x, x+2) \mid x \in \mathbb{R}\} subconjunto do espaço vetorial \mathbb{R}^{2}.
(a) Dados u=(1,3) e v=(-1,1) em W, verifique se u+v, 2 u+v,-v pertencem a W.
(b) Represente os vetores do item (a) no plano cartesiano.
(c) O conjunto W é um subespaço de \mathbb{R}^{2} ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = x + 2\}
e pede em (a) verificar se, dado u=(1,3) e v=(-1,1) em W, os vetores u+v, 2u+v e -v também ficam em W; em (b) desenhar esses vetores no plano; e em (c) decidir se W é subespaço de \mathbb{R}^2. O conteúdo principal é testar pertencer a um conjunto definido por uma equação linear e depois checar as propriedades de subespaço (fechamento e presença do vetor zero).
Passo 2
Primeiro confirmamos que u e v pertencem a W pois em ambos vale y=x+2: \,3 = 1 + 2 e 1 = -1 + 2.
Agora calculamos e testamos cada combinação:
u + v = (1,3) + (-1,1) = (0,4).
Para pertencer a W, precisaríamos 4 = 0 + 2, o que é falso. Logo u+v\notin W.
2u + v = 2\,(1,3) + (-1,1) = (2-1,\;6+1) = (1,7).
Em W exigiria 7 = 1 + 2, falso. Assim 2u+v\notin W.
-\,v = -1\cdot(-1,1) = (1,-1).
Aqui daria -1 = 1 + 2? Também falso. Logo -v\notin W.
Passo 3
Os vetores a representar no plano são:
u+v = (0,4),\quad 2u+v = (1,7),\quad -v = (1,-1).
Basta marcar esses pontos e desenhar setas saindo da origem até cada um, juntandó-los à reta y = x + 2 para ver que só u e v estão sobre a reta, e os demais caem fora dela.
Passo 4
Para ser subespaço de \mathbb{R}^2, W teria de conter o vetor zero e ser fechado em soma e multiplicação escalar. Note que (0,0)\notin W pois 0 \neq 0+2. Além disso, vimos que u,v\in W mas u+v\notin W. Falha o fechamento sob adição. Portanto W não é subespaço.
Resposta
(a) u+v\notin W, 2u+v\notin W, -v\notin W.
(b) As setas \overrightarrow{O(0,4)}, \overrightarrow{O(1,7)} e \overrightarrow{O(1,-1)} no plano cartesiano em relação à reta y = x+2.
(c) Não, pois não contém o vetor zero e não é fechado sob soma de vetores.