Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais de espaço vetorial dado.
V=\mathbb{R}^{2}, W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x>0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \,V=\mathbb{R}^2 e \,W=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>0\}
fazem de W um subespaço vetorial de V.
Para isso precisamos checar três propriedades:
  1. W contém o vetor zero?
  2. W é fechado sob soma de vetores?
  3. W é fechado sob multiplicação escalar?

Passo 2

Testando o vetor zero: o vetor zero em \mathbb{R}^2 é (0,0). Para pertencer a W deveríamos ter 0>0, mas isso é falso. Logo
(0,0)\notin W.
Como um subespaço vetorial deve conter o vetor zero e W não o faz, não precisamos checar as outras propriedades.

Resposta

W não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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