Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para V=R^3.
(1,2,1),(1,3,0),(0,1,-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de três vetores
(1,2,1), (1,3,0) e (0,1,-1) formam uma base de V=R^3.
Em R^3, um conjunto de três vetores é base se, e somente se, eles são linearmente independentes (ou seja, se a matriz formada por eles é invertível).

Passo 2

Para testar independência linear em R^3, montamos a matriz A cujas colunas são esses vetores. Se det(A)neq0, então eles são independentes e formam base; se det(A)=0, não formam base.

Passo 3

Montando a matriz com os vetores como colunas, temos
A = 1 & 1 & 0 2 & 3 & 1 1 & 0 & -1

Passo 4

Calculamos o determinante de A:
det(A) =1cdotl(3cdot(-1)-1cdot0r) -1cdotl(2cdot(-1)-1cdot1r) +0cdot(dots) =-3 - l(-2 -1r) =-3 -(-3) =0

Passo 5

Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes em R^3 e, portanto, não geram todo o espaço de forma independente.

Resposta

O conjunto (1,2,1),(1,3,0),(0,1,-1) não forma uma base de R^3.

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