Seja
, e seja
definida por
. Mostre que :
a)
é sobrejetora se, e somente se, o número de linhas não nula da matriz reduzida escalonada associada a matriz
é
.
b)
é injetora se, e somente se, o número de linhas não nulas da matriz reduzida escalonada associada a matriz
é
.
c)
é inversível se, e somente se, o número de linhas não nulas da matriz reduzida associada a matriz
é
.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado define a aplicação linear
por
onde
. Queremos caracterizar sobrejeção, injeção e inversibilidade de
em termos do posto de
, sabendo que o posto de
é exatamente o número de linhas não nulas em sua forma escalonada reduzida.
Passo 2
A imagem de
coincide com o espaço das combinações lineares das colunas de
, ou seja
de modo que
Logo
é sobrejetora se, e somente se,
. Portanto
Passo 3
Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
Assim
é injetora se, e somente se,
, isto é
. Da igualdade acima segue
Passo 4
A aplicação
é inversível se, e somente se, for bijetora, ou seja simultaneamente injetora e sobrejetora. Isso exige
logo
e o posto de
(número de linhas não nulas na RREF) é
.
Resposta
(a)
é sobrejetora se, e somente se, o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de
for
.
(b) é injetora se, e somente se, o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de
for
.
(c) é inversível se, e somente se, o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de
for
.
(b)
(c)