Seja A in V=Mm, n, e seja T: K^n longrightarrow K^m definida por T(X)=A X. Mostre que :
a) T é sobrejetora se, e somente se, o número de linhas não nula da matriz reduzida escalonada associada a matriz A é m.
b) T é injetora se, e somente se, o número de linhas não nulas da matriz reduzida escalonada associada a matriz A é n.
c) T é inversível se, e somente se, o número de linhas não nulas da matriz reduzida associada a matriz A é m=n.

Passo 1

O enunciado define a aplicação linear Tcolon K^nto K^m por
T(X)=A X,
onde Ain Mm,n(K). Queremos caracterizar sobrejeção, injeção e inversibilidade de T em termos do posto de A, sabendo que o posto de A é exatamente o número de linhas não nulas em sua forma escalonada reduzida.

Passo 2

A imagem de T coincide com o espaço das combinações lineares das colunas de A, ou seja
Im(T)=Col(A),
de modo que
dim(Im(T))=rank(A)
Logo T é sobrejetora se, e somente se, dim(Im(T))=m. Portanto
T é sobrejetora ;Long<=ftrightarrow; rank(A)=m ;Long<=ftrightarrow; o número de linhas não nulas na RREF de A é m éúãé

Passo 3

Pelo Teorema do Núcleo e da Imagem temos
dim(ker(T))+rank(A)=n
Assim T é injetora se, e somente se, ker(T)=0, isto é dim(ker(T))=0. Da igualdade acima segue
T é injetora ;Long<=ftrightarrow; rank(A)=n ;Long<=ftrightarrow; o número de linhas não nulas na RREF de A é n éúãé

Passo 4

A aplicação T é inversível se, e somente se, for bijetora, ou seja simultaneamente injetora e sobrejetora. Isso exige
rank(A)=m e rank(A)=n
logo m=n e o posto de A (número de linhas não nulas na RREF) é m=n.

Resposta

(a) T é sobrejetora se, e somente se, o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de A for m.
(b) T é injetora se, e somente se, o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de A for n.
(c) T é inversível se, e somente se, o número de linhas não nulas da forma escalonada reduzida de A for m=n.

Exercícios relacionados