Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para V=R^3.
(1,0,1),(2,0,1),(1,1,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
(1,0,1),,(2,0,1),,(1,1,1)
forma uma base de V=R^3.
Para isso, como já temos três vetores em R^3, basta mostrar que eles são linearmente independentes.
Um critério prático é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e verificar se o determinante é diferente de zero.

Passo 2

Montamos a matriz A colocando cada vetor como coluna:
A = 1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante de A por expansão na primeira linha:
det(A) = 1 cdot det!0 & 1 1 & 1 ;-; 2 cdot det!0 & 1 1 & 1 ;+; 1 cdot det!0 & 0 1 & 1
Agora cada menor:
det!0 & 1 1 & 1 = 0cdot1 - 1cdot1 = -1, det!0 & 0 1 & 1 = 0cdot1 - 0cdot1 = 0
Substituindo:
det(A) = 1cdot(-1) ;-; 2cdot(-1) ;+; 1cdot 0 = -1 + 2 + 0 = 1

Passo 4

Como det(A)=1 neq 0, concluímos que as colunas de A são linearmente independentes. Em consequência, o conjunto original tem três vetores independentes em R^3, portanto forma uma base.

Resposta

O conjunto (1,0,1),(2,0,1),(1,1,1) forma uma base de R^3.

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