Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base para V=R^3.
(1,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
(1,1,1),,(1,0,0),,(0,1,0),,(0,0,1)
é uma base de V=R^3. Para isso precisamos lembrar que um conjunto é base se e somente se for simultaneamente:
  1. Linearmente independente.
  2. Gerador (ou seja, seu span é todo R^3).

Passo 2

Em R^3 a dimensão é 3. Logo qualquer conjunto com mais de 3 vetores necessariamente será linearmente dependente. Nosso conjunto tem 4 vetores, portanto já sabemos que ele não pode ser independente.

Passo 3

Para ver explicitamente a dependência linear, podemos escrever
(1,1,1) = (1,0,0) + (0,1,0) + (0,0,1)
Isso mostra que existe combinação não trivial
(1,1,1) - (1,0,0) - (0,1,0) - (0,0,1) = (0,0,0),
o que prova a dependência linear do conjunto.

Passo 4

Como o conjunto falha em ser linearmente independente, ele não pode ser uma base de R^3, mesmo que seus vetores gerem o espaço.

Resposta

O conjunto não forma base de R^3, pois seus 4 vetores são linearmente dependentes.

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