Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
3) x e^{x y} d x+y e^{x y} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y) = x\,e^{xy}, \qquad N(x,y) = y\,e^{xy}.
Vamos testar se é exata checando se \partial M/\partial y = \partial N/\partial x.

Passo 2

Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{xy}\bigr) = x\,(x\,e^{xy}) = x^2\,e^{xy},
e
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\,e^{xy}\bigr) = y\,(y\,e^{xy}) = y^2\,e^{xy}.

Passo 3

Como \partial M/\partial y = x^2\,e^{xy}
e \partial N/\partial x = y^2\,e^{xy}
são diferentes em geral, a equação não é exata e não pode ser resolvida diretamente pelo método de equações exatas.

Resposta

A equação diferencial x\,e^{xy}\,dx+y\,e^{xy}\,dy=0 não é exata.

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