Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x, y)=ln (x^2+y^2-2(x+y)+2), em (1,1)

Passo 1

O enunciado nos pede verificar se a função f(x,y)=lnl(x^2+y^2-2(x+y)+2r) é contínua em (1,1). Isso envolve entender a definição de continuidade de funções de várias variáveis e o domínio da função logarítmica.

Passo 2

Para que ln(u) esteja definida e seja contínua, precisamos ter u>0. Então devemos impor
x^2+y^2-2(x+y)+2>0
para todo ponto do domínio de f.

Passo 3

Note que
x^2+y^2-2(x+y)+2=(x-1)^2+(y-1)^2
que é sempre >=0 e só é zero exatamente em (x,y)=(1,1).

Passo 4

Ao avaliar em (1,1), o argumento do logaritmo vira
(1-1)^2+(1-1)^2=0
Como não podemos ter ln(0), a função não está definida em (1,1) e, portanto, não é contínua ali.

Resposta

A função f não é contínua em (1,1), pois não está definida nesse ponto (o argumento do ln fica zero).

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