Verifique se as seguintes funções são contínuas:
, em
Passo 1
Enunciado resumido e conteúdo necessário: Temos a função de duas variáveis definida por
, onde
é uma constante, e queremos verificar se ela é contínua no ponto
. O conteúdo envolvido é limite e definição epsilon-delta de continuidade em
.
Passo 2
Cálculo do limite em
: Como
é constante, temos
e também
.
Passo 3
Prova via definição epsilon-delta: Seja
arbitrário. Como para todo
vale
basta escolher qualquer
(por exemplo
). Sempre que
, a diferença acima permanece
. Portanto, o limite coincide com o valor da função em
, garantindo continuidade.
Passo 4
Conclusão da continuidade: A condição de continuidade em
está satisfeita para qualquer escolha de
.
Resposta
A função
é contínua em
para todo valor real de
.