Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x, y)=k, em (0,0)

Passo 1

Enunciado resumido e conteúdo necessário: Temos a função de duas variáveis definida por f(x,y)=k, onde k é uma constante, e queremos verificar se ela é contínua no ponto (0,0). O conteúdo envolvido é limite e definição epsilon-delta de continuidade em R^2.

Passo 2

Cálculo do limite em (0,0): Como f(x,y) é constante, temos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=lim(x,y)to(0,0)k=k
e também f(0,0)=k.

Passo 3

Prova via definição epsilon-delta: Seja epsilon>0 arbitrário. Como para todo (x,y) vale
|f(x,y)-f(0,0)|=|k-k|=0
basta escolher qualquer de0 (por exemplo de). Sempre que raizx^2+y^2, a diferença acima permanece . Portanto, o limite coincide com o valor da função em (0,0), garantindo continuidade.

Passo 4

Conclusão da continuidade: A condição de continuidade em (0,0) está satisfeita para qualquer escolha de k.

Resposta

A função f(x,y)=k é contínua em (0,0) para todo valor real de k.

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