Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x, y)=x, em (0,5)

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se a função fcolon R^2 to R, dada por f(x,y)=x, é contínua no ponto (0,5). O conteúdo envolve continuidade de funções em R^2 e usaremos a definição varepsilon- de.

Passo 2

Recordando que f é contínua em um ponto a se, para todo varepsilon>0, existe de0 tal que sempre que d((x,y),a) então |f(x,y)-f(a)|, onde usamos a métrica euclidiana em R^2.
Calculamos f(0,5)=0 e então |f(x,y)-f(0,5)| = |x|.

Passo 3

A distância euclidiana de (x,y) a (0,5) é d((x,y),(0,5)) = raiz(x-0)^2 + (y-5)^2. Como raiz(x-0)^2 + (y-5)^2 >= |x|, segue que |f(x,y)-f(0,5)| <= d((x,y),(0,5)).

Passo 4

Dado varepsilon>0, basta escolher de. Assim, se d((x,y),(0,5)) teremos |f(x,y)-f(0,5)|, mostrando que f é contínua em (0,5).

Resposta

A função é contínua no ponto (0,5).

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