f(x)= \begin{cases}\frac{1}{5}\left(2 x^{2}+3\right) & \text { se } x \leq 1 \\\\ 6-5 x & \text { se } 1<x<3 \\\ x-3 & \text { se } x \geq 1\end{cases}
e pede para verificar onde ela é contínua. Sabemos que polinômios e funções lineares são contínuos em todo o domínio, logo só precisamos checar os pontos em que a definição muda: x=1 e x=3.]
Passo 2
Como \dfrac{1}{5}(2x^{2}+3), 6-5x e x-3 são contínuas em \mathbb R, segue que f é contínua em cada um dos intervalos abertos (-\infty,1), (1,3) e (3,\infty).
Passo 3
Para x=1 calculamos \displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=\frac{1}{5}(2\cdot1^2+3)=1, \displaystyle f(1)=\frac{1}{5}(2\cdot1^2+3)=1, \displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=6-5\cdot1=1.
Como os dois limites laterais e f(1) coincidem em 1, f é contínua em x=1.
Passo 4
Para x=3 calculamos \displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=6-5\cdot3=-9, \displaystyle f(3)=3-3=0, \displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=3-3=0.
Aqui o limite pela esquerda é -9 e f(3)=0, logo há descontinuidade em x=3.
Resposta
A função f é contínua em todo \mathbb{R} exceto em x=3.