Verifique se as seguintes funções são contínuas:
f(x)= \begin{cases}1-x^{2} & \text { se } x<-1 \\\ \ln \left(2-x^{2}\right) & \text { se } -1 \leq x \leq 1 \\\ \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função abaixo e pede para verificar a continuidade em todo ponto real. O conteúdo é continuidade de função por partes, que exige (i) mostrar que cada ramo é contínuo em seu intervalo interno e (ii) checar a continuidade nos pontos de transição x=-1 e x=1.
f(x)=\begin{cases} 1 - x^2, & x < -1,\\\ \ln\bigl(2 - x^2\bigr), & -1 \le x \le 1,\\\ \sqrt{\dfrac{x-1}{\,x+1\,}}, & x > 1 \end{cases}

Passo 2

Verificamos cada ramo em seu domínio interno:
– Para x < -1, f(x)=1 - x^2 é polinomial, logo contínua em (-\infty,-1).
– Para -1 \le x \le 1, f(x)=\ln(2 - x^2) é composição de funções contínuas; como em [-1,1] vale
2 - x^2 \ge 2 - 1 = 1 > 0,
o logaritmo está bem definido e contínuo.
– Para x > 1, f(x)=\sqrt{\frac{x-1}{x+1}} é contínua desde que \frac{x-1}{x+1}>0; para x>1 temos x-1>0 e x+1>0, de modo que a raiz está bem definida e contínua em (1,\infty).

Passo 3

Checagem em x=-1:
\lim_{x\to-1^-}f(x)=1-(-1)^2=0,
\lim_{x\to-1^+}f(x)=\ln\bigl(2-(-1)^2\bigr)=\ln1=0,
e
f(-1)=\ln1=0.
Como os dois limites coincidem entre si e com f(-1), f é contínua em -1.

Passo 4

Checagem em x=1:
\lim_{x\to1^-}f(x)=\ln(2-1)=\ln1=0,
\lim_{x\to1^+}f(x)=\sqrt{\frac{1-1}{1+1}}=0,
e
f(1)=\ln1=0.
Como os dois limites coincidem entre si e com f(1), f é contínua em 1.

Resposta

A função f é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

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