Verifique se as seguintes funções são contínuas, e diga quando as descontinuidades são removíveis
f(x)=lx^2-4x-2, se x neq 2, 0, se x=2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade da função
f(x)= dfracx^2-4x-2,&se xneq2,[6pt] 0,&se x=2,
ou seja, determinar para quais pontos de R ela é contínua e verificar se há descontinuidade removível em x=2. Vamos usar propriedades de funções racionais e limite.]

Passo 2

Para xneq2 temos
f(x)=x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2
Como x+2 é um polinômio, é contínuo em todo ponto de R. Logo, f é contínua em cada xneq2.

Passo 3

Calcular o limite de f(x) quando xto2. Como para xneq2 vale f(x)=x+2, temos
limxto2f(x)=limxto2(x+2)=2+2=4

Passo 4

O valor definido em x=2 é f(2)=0, mas o limite quando xto2 deu 4neq0. Portanto há descontinuidade em x=2. Como o limite existe (é finito) mas difere do valor da função, trata-se de descontinuidade removível: basta redefinir f(2)=4 para restaurar a continuidade em 2.

Resposta

A função é contínua em todo Rsetminus2 e possui uma descontinuidade removível em x=2.

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