Escreva a soma, das integrais abaixo, como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x+\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{\sqrt{8-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a soma de duas integrais duplas como uma única integral dupla usando coordenadas polares e que eu a calcule. As integrais dadas são
\int_{0}^{2} \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dy\, dx
e
\int_{2}^{2 \sqrt{2}} \int_{0}^{\sqrt{8-x^{2}}} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, dy\, dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função a ser integrada é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A primeira integral varia x de 0 a 2 e, para cada x, y de 0 a x.
  • A segunda integral varia x de 2 a 2\sqrt{2} e, para cada x, y de 0 a \sqrt{8-x^{2}}.
  • Não há figura anexada; os limites são explícitos nos integrais.
O que o problema pede, em resumo:
  • Identificar a região do plano somada pelas duas integrais.
  • Reescrever a integral sobre essa região em coordenadas polares.
  • Calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

Interpretar geometricamente as duas regiões (cada integral descreve uma região no primeiro quadrante).
Primeira integral:
  • Condições: 0\le x\le 2 e 0\le y\le x.
  • Isso é o triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2). A hipotenusa é a reta y=x entre (0,0) e (2,2).
Segunda integral:
  • Condições: 2\le x\le 2\sqrt{2} e 0\le y\le \sqrt{8-x^{2}}.
  • A curva y=\sqrt{8-x^{2}} é a semicircunferência superior da circunferência de centro na origem e raio \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Para x=2 temos y=\sqrt{8-4}=2, ou seja, o ponto (2,2) está na interseção entre o triângulo e a semicircunferência. Para x=2\sqrt{2} temos y=0 (ponto (2\sqrt{2},0)).
Conclusão geométrica (união das duas regiões):
  • A união é a região no primeiro quadrante limitada por:
    • abaixo pela reta y=0 (eixo x),
    • acima por duas partes que se encontram em (2,2): para 0\le x\le 2 a cota superior é y=x, para 2\le x\le 2\sqrt{2} a cota superior é a semicircunferência y=\sqrt{8-x^{2}}.
  • Observação útil: o conjunto parece corresponder a um setor radial do ângulo entre \theta=0 e \theta=\pi/4 até a circunferência de raio 2\sqrt{2}. Vou verificar isso em coordenadas polares no próximo passo.

Passo 3

Troca para coordenadas polares — fórmulas e jacobiano (aula rápida e necessária).
  • Em coordenadas polares definimos x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
  • O elemento de área em coordenadas polares é dA = dx\,dy = r\,dr\,d\theta.Esse fator r aparece porque a transformação alonga áreas (é o jacobiano da transformação).
  • A função integranda é \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Em polares isso fica \sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}} = \sqrt{r^{2}} = r(como r\ge0, a raiz é simplesmente r).

Passo 4

Converter as curvas que limitam a região para coordenadas polares.
  • A reta y=x corresponde a \tan\theta = 1, portanto y=x \quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}.
  • A circunferência x^{2}+y^{2}=8 corresponde a r^{2}=8 \quad\Longrightarrow\quad r=2\sqrt{2}.
  • A condição y\ge 0 e x\ge 0 limita \theta ao primeiro quadrante, isto é 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}. Mas a reta y=x corta o primeiro quadrante em \theta=\pi/4. Precisamos ver para quais \theta a região original tem pontos.
  • Análise por raios (argumento geométrico):
    • Para um ângulo fixo \theta com 0\le\theta\le\frac{\pi}{4}, ao aumentar r desde 0 percorremos pontos com y/x=\tan\theta\le 1, então esses pontos satisfazem y\le x. Assim para pequenos r o ponto pertence ao triângulo (primeira parte). Quando r cresce até fazer x=r\cos\theta=2, ou seja r=\dfrac{2}{\cos\theta}, a coordenada x atinge 2. Depois disso, para maiores r até r=2\sqrt{2} os pontos têm x\ge2 e ainda ficam dentro da circunferência se r\le 2\sqrt{2}. Portanto, para 0\le\theta\le\frac{\pi}{4} o raio atravessa continuamente a união das duas regiões desde r=0 até r=2\sqrt{2}.
    • Para \theta>\frac{\pi}{4} temos \tan\theta>1, então y>x, e os pontos com x\le 2 não pertencem ao triângulo. Para que pertencessem à segunda região seria necessário ter x\ge 2 e r\le 2\sqrt{2}, mas para \theta>\frac{\pi}{4} o requisito r\cos\theta\ge 2 implica r\ge \dfrac{2}{\cos\theta}, que é maior que 2\sqrt{2} quando \theta fica próximo de \pi/2; em suma, não há contribuição de \theta>\pi/4.
  • Portanto a união das duas regiões corresponde exatamente ao setor: 0\le \theta \le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le r \le 2\sqrt{2}.

Passo 5

Escrever a integral única em coordenadas polares.
  • A integranda em polares é r (veja Passo 3) e o elemento de área é r\,dr\,d\theta. Assim o integrando combinado é r\cdot r = r^{2}.
  • Os limites descobertos no Passo 4 são 0\le\theta\le\frac{\pi}{4} e 0\le r\le 2\sqrt{2}.
  • Logo a integral única em coordenadas polares é \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{0}^{2\sqrt{2}} r^{2}\, dr\, d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em polares passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro integramos em r: \int_{0}^{2\sqrt{2}} r^{2}\, dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{2\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{2})^{3}}{3}.Calculemos (2\sqrt{2})^{3}: (2\sqrt{2})^{3} = 2^{3}\,(\sqrt{2})^{3} = 8\cdot (2\sqrt{2}) = 16\sqrt{2}.Portanto \int_{0}^{2\sqrt{2}} r^{2}\, dr = \frac{16\sqrt{2}}{3}.
  • Agora integramos em \theta: \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{16\sqrt{2}}{3}\, d\theta = \frac{16\sqrt{2}}{3}\cdot \left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{16\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\pi}{4}.
  • Simplificando: \frac{16\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\pi}{4} = \frac{16}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}\,\pi}{3} = \frac{4\sqrt{2}\,\pi}{3}.

Resposta

\dfrac{4\sqrt{2}\,\pi}{3}

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