Escreva a soma, das integrais abaixo, como uma única integral dupla usando coordenadas polares e calcule
.
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a soma de duas integrais duplas como uma única integral dupla usando coordenadas polares e que eu a calcule. As integrais dadas são
e
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função a ser integrada é
. - A primeira integral varia
de a e, para cada , de a . - A segunda integral varia
de a e, para cada , de a . - Não há figura anexada; os limites são explícitos nos integrais.
O que o problema pede, em resumo:
- Identificar a região do plano somada pelas duas integrais.
- Reescrever a integral sobre essa região em coordenadas polares.
- Calcular o valor numérico da integral.
Passo 2
Interpretar geometricamente as duas regiões (cada integral descreve uma região no primeiro quadrante).
Primeira integral:
- Condições:
e . - Isso é o triângulo com vértices em
, e . A hipotenusa é a reta entre e .
Segunda integral:
- Condições:
e . - A curva
é a semicircunferência superior da circunferência de centro na origem e raio . - Para
temos , ou seja, o ponto está na interseção entre o triângulo e a semicircunferência. Para temos (ponto ).
Conclusão geométrica (união das duas regiões):
- A união é a região no primeiro quadrante limitada por:
- abaixo pela reta
(eixo ), - acima por duas partes que se encontram em
: para a cota superior é , para a cota superior é a semicircunferência .
- abaixo pela reta
- Observação útil: o conjunto parece corresponder a um setor radial do ângulo entre
e até a circunferência de raio . Vou verificar isso em coordenadas polares no próximo passo.
Passo 3
Troca para coordenadas polares — fórmulas e jacobiano (aula rápida e necessária).
- Em coordenadas polares definimos
onde é a distância ao origem e é o ângulo medido a partir do eixo . - O elemento de área em coordenadas polares é
Esse fator aparece porque a transformação alonga áreas (é o jacobiano da transformação). - A função integranda é
. Em polares isso fica (como , a raiz é simplesmente ).
Passo 4
Converter as curvas que limitam a região para coordenadas polares.
- A reta
corresponde a , portanto - A circunferência
corresponde a - A condição
e limita ao primeiro quadrante, isto é . Mas a reta corta o primeiro quadrante em . Precisamos ver para quais a região original tem pontos. - Análise por raios (argumento geométrico):
- Para um ângulo fixo
com , ao aumentar desde percorremos pontos com , então esses pontos satisfazem . Assim para pequenos o ponto pertence ao triângulo (primeira parte). Quando cresce até fazer , ou seja , a coordenada atinge . Depois disso, para maiores até os pontos têm e ainda ficam dentro da circunferência se . Portanto, para o raio atravessa continuamente a união das duas regiões desde até . - Para
temos , então , e os pontos com não pertencem ao triângulo. Para que pertencessem à segunda região seria necessário ter e , mas para o requisito implica , que é maior que quando fica próximo de ; em suma, não há contribuição de .
- Para um ângulo fixo
- Portanto a união das duas regiões corresponde exatamente ao setor:
Passo 5
Escrever a integral única em coordenadas polares.
- A integranda em polares é
(veja Passo 3) e o elemento de área é . Assim o integrando combinado é . - Os limites descobertos no Passo 4 são
e . - Logo a integral única em coordenadas polares é
Passo 6
Calcular a integral em polares passo a passo (sem pular etapas).
- Primeiro integramos em
: Calculemos : Portanto - Agora integramos em
: - Simplificando: