Verifique as seguintes identidades trigonométricas:
1+cot ^2 xcot ^2 x=cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade trigonométrica
1+cot^2xcot^2x = cos 2x
Vamos usar a identidade pitagórica para cotangente e cosecante e depois comparar com a fórmula de cos 2x.

Passo 2

Usamos a identidade pitagórica
1 + cot^2x = csc^2x,
portanto a parte de cima da fração torna-se csc^2x. Assim
1+cot^2xcot^2x = csc^2xcot^2x

Passo 3

Agora escrevemos tudo em termos de seno e cosseno:
csc^2x = 1sin^2x, cot^2x = cos^2xsin^2x
Logo
csc^2xcot^2x = tfrac1sin^2xtfraccos^2xsin^2x = 1cos^2x = sec^2x

Passo 4

Comparando com o lado direito, temos
sec^2x versus cos 2x
Em geral sec^2x = 1/cos^2x>=1, enquanto cos2x varia entre -1 e 1. Portanto não há coincidência para valores de x onde cotangente seja definido. Concluímos que a igualdade não se verifica.

Resposta

A expressão 1+cot^2xcot^2x simplifica para sec^2x, que não é igual a cos2x. Logo, a identidade é falsa.

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