Verifique as seguintes identidades trigonométricas:
(sec x+csc x)(sec x-cos x)(csc x-sin x)=1

Passo 1

Nós queremos “verificar” se a igualdade
(sec x+csc x),(sec x-cos x),(csc x-sin x)=1
é de fato verdadeira para todo x em que está definida. O conteúdo da matéria é manipular expressões trigonométricas usando as definições
sec x=1/cos x e csc x=1/sin x, além de identidades pitagóricas como sin^2x+cos^2x=1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada diferença em função de sin x e cos x:
sec x-cos x=1cos x-cos x =1-cos^2xcos x =sin^2xcos x,
csc x-sin x=1sin x-sin x =1-sin^2xsin x =cos^2xsin x

Passo 3

Agora a expressão fica
(sec x+csc x),sin^2xcos x,cos^2xsin x
Também juntamos
sec x+csc x =1cos x+1sin x =sin x+cos xsin x,cos x

Passo 4

Multiplicando tudo, temos
(sec x+csc x),sin^2xcos x,cos^2xsin x =sin x+cos xsin x,cos x,sin^2x,cos^2xsin x,cos x =(sin x+cos x),sin^2x,cos^2xsin^2x,cos^2x =sin x+cos x

Passo 5

Concluímos que
(sec x+csc x)(sec x-cos x)(csc x-sin x) =sin x+cos x,
logo não é igual a 1 para todo x.

Resposta

A expressão simplifica-se a sin x+cos x, portanto não é identicamente igual a 1.

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