Verifique as seguintes identidades trigonométricas:
(1-2cos ^2 x)+(1-4sin ^2 x)=2 cdot csc ^2 x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a identidade
l(1 - 2cos^2 xr) ;+;l(1 - 4sin^2 xr) ;=;2,csc^2 x
é verdadeira. O conteúdo envolvido são identidades trigonométricas básicas, em particular as relações
sec^2 x = 1 + tan^2 x e csc^2 x = 1 + cot^2 x, além da substituição 1/cos^2 x=sec^2 x e 1/sin^2 x=csc^2 x.

Passo 2

Começamos reescrevendo a soma do lado esquerdo:
l(1 - 2cos^2 xr) + l(1 - 4sin^2 xr) = 2 ;-;2cos^2 x;-;4sin^2 x

Passo 3

Agora usamos as definições 1cos^2 x=sec^2 x e 1sin^2 x=csc^2 x. Assim
2 - 2cos^2 x - 4sin^2 x = 2 - 2,sec^2 x - 4,csc^2 x

Passo 4

Para que a identidade fosse válida, precisaríamos de
2 - 2,sec^2 x - 4,csc^2 x ;=;2,csc^2 x
Isto equivale a
2 = 2,sec^2 x + 6,csc^2 x Long<=ftrightarrow 1 = sec^2 x + 3,csc^2 x

Passo 5

Mas sabemos que sec^2 x>=1 e 3,csc^2 x>=3 para todo x em que as funções estão definidas, de modo que
sec^2 x + 3,csc^2 x ;>=;1 + 3 = 4,
o que contraria a igualdade 1 = sec^2 x + 3,csc^2 x. Logo, não há x que satisfaça a condição, e a identidade é falsa.

Resposta

A identidade não é verdadeira; o lado esquerdo não se iguala a 2,csc^2 x.

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