Determine os possíveis valores de m para que existam soluções em cada equação a seguir:
sin x=m^2-3 m+2

Passo 1

O enunciado pede os valores de m para que a equação sin x = m^2 - 3m + 2 tenha solução real x. Como o alcance de sin x é o intervalo [-1,1], precisamos que
m^2 - 3m + 2 in [-1,1]

Passo 2

Escrevendo a condição acima como desigualdades, temos
-1 <= m^2 - 3m + 2 <= 1
Isso gera duas condições:
  1. m^2 - 3m + 2 >= -1.
  2. m^2 - 3m + 2 <= 1.

Passo 3

Analisando a primeira condição:
m^2 - 3m + 2 >= -1 Long<=ftrightarrow m^2 - 3m + 3 >= 0
O discriminante é
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot3 = 9 - 12 = -3 < 0,
portanto o trinômio m^2 - 3m + 3 é sempre positivo. Logo essa condição vale para todo m.

Passo 4

Analisando a segunda condição:
m^2 - 3m + 2 <= 1 Long<=ftrightarrow m^2 - 3m + 1 <= 0
Aqui o discriminante é
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot1 = 9 - 4 = 5,
e as raízes são
m = 3 pm raiz52
Como o coeficiente de m^2 é positivo, temos
m^2 - 3m + 1 <= 0 Long<=ftrightarrow 3 - raiz52 <= m <= 3 + raiz52

Resposta

Os valores de m que garantem existência de solução real para sin x = m^2 - 3m + 2 são
m in [3 - raiz52,,3 + raiz52]

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