Verifique se os seguintes limites existem: \boldsymbol{(} \mathbf{1 . 2 5}) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^2y}{x^2+y^2}
existe. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis. Para resolver, podemos testar trajetórias e depois usar coordenadas polares para provar rigorosamente.
Passo 2
Vamos testar primeiro algumas trajetórias simples. Se tomarmos y = m x com m fixo, então