Verifique se os seguintes limites existem:
\boldsymbol{(} \mathbf{1 . 2 5}) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^2y}{x^2+y^2}
existe. O conteúdo é limite de funções de duas variáveis. Para resolver, podemos testar trajetórias e depois usar coordenadas polares para provar rigorosamente.

Passo 2

Vamos testar primeiro algumas trajetórias simples. Se tomarmos y = m x com m fixo, então
\frac{3x^2y}{x^2+y^2} = \frac{3x^2\,(m x)}{x^2 + m^2x^2} = \frac{3m\,x^3}{x^2(1+m^2)} = \frac{3m}{1+m^2}\,x.
Quando x\to0, isso tende a 0 para todo m. Essa verificação sugere valor zero, mas não é prova geral.

Passo 3

Para provar que o limite é 0 em qualquer direção, use coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 e \theta é qualquer ângulo. Substituindo:
\frac{3x^2y}{x^2+y^2} = \frac{3\,(r\cos\theta)^2\,(r\sin\theta)}{r^2} = 3r\cos^2\theta\,\sin\theta.
Como \bigl|\cos^2\theta\,\sin\theta\bigr|\le1, temos
\left|\frac{3x^2y}{x^2+y^2}\right| = |3r\cos^2\theta\sin\theta| \le 3r.
Quando (x,y)\to(0,0), corresponde a r\to0, então 3r\to0. Pelo teorema do confronto, o limite é 0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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