Use o método do Problema 33 para resolver a equação diferencial dada.
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=3+4 \operatorname{sen} 2 t
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=3+4 \operatorname{sen} 2 t
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
usando o método de coeficientes a determinar (o “método do Problema 33”). Vamos então encontrar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo constante
e para o termo
.
Passo 2
Para a parte homogênea consideramos
Assumindo solução
, obtemos a equação característica
cujas raízes são
e
. Assim a solução geral homogênea é
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo constante
. Como a parte homogênea já contém termo constante, tentamos
Então
e substituindo em
dá
Logo
Passo 4
Em seguida, procuramos
para o termo
. Usamos o ansatz
Calculamos
e em
obtemos
Igualando a
dá o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
logo
. Assim
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma