Use o método do Problema 33 para resolver a equação diferencial dada.
$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=3+4 \operatorname{sen} 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' = 3 + 4\sin(2t),
usando o método de coeficientes a determinar (o “método do Problema 33”). Vamos então encontrar primeiro a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular para o termo constante 3 e para o termo 4\sin(2t).

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 2y' = 0.
Assumindo solução y_h=e^{rt}, obtemos a equação característica
r^2 + 2r = r(r+2)=0,
cujas raízes são r=0 e r=-2. Assim a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1 + C_2 e^{-2t}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p1} para o termo constante 3. Como a parte homogênea já contém termo constante, tentamos
y_{p1}(t)=A\,t.
Então
y_{p1}'(t)=A, \quad y_{p1}''(t)=0,
e substituindo em y''+2y'=3
0 + 2A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac{3}{2}.
Logo
y_{p1}(t)=\tfrac{3}{2}\,t.

Passo 4

Em seguida, procuramos y_{p2} para o termo 4\sin(2t). Usamos o ansatz
y_{p2}(t)=\alpha\cos(2t)+\beta\sin(2t).
Calculamos
y_{p2}'=-2\alpha\sin(2t)+2\beta\cos(2t), \quad y_{p2}''=-4\alpha\cos(2t)-4\beta\sin(2t),
e em y''+2y' obtemos
(-4\alpha\cos2t-4\beta\sin2t) +2(-2\alpha\sin2t+2\beta\cos2t) =( -4\alpha+4\beta)\cos2t+(-4\beta-4\alpha)\sin2t.
Igualando a 4\sin2t dá o sistema
-4\alpha+4\beta=0, \quad -4\beta-4\alpha=4.
Da primeira equação \beta=\alpha. Substituindo na segunda:
-4(\alpha+\alpha)=4 \;\Longrightarrow\; -8\alpha=4 \;\Longrightarrow\; \alpha=-\tfrac12,
logo \beta=-\tfrac12. Assim
y_{p2}(t)=-\tfrac12\cos(2t)-\tfrac12\sin(2t).

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma
y(t)=y_h(t)+y_{p1}(t)+y_{p2}(t) =C_1 + C_2 e^{-2t} +\tfrac{3}{2}\,t -\tfrac12\cos(2t)-\tfrac12\sin(2t).

Resposta

y(t)=C_1 + C_2 e^{-2t} +\tfrac{3}{2}\,t -\tfrac12\cos(2t) -\tfrac12\sin(2t).

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