Verifique se os seguintes operadores lineares do
são idempotentes/ ou nilpotentes ou nenhuma das duas propriedades.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
e pede para verificar se
é idempotente (isto é,
), nilpotente (isto é, existe
tal que
) ou nenhuma das duas propriedades.
Passo 2
Vamos calcular
. Para qualquer
,
Passo 3
Para ser idempotente precisaríamos de
ou seja
Isso exigiria
,
e
para todos os vetores, o que é falso. Logo,
não é idempotente.
Passo 4
Agora calculemos
:
Portanto
, não sendo o operador zero para nenhum
. Como
não se anula para todo
,
não é nilpotente.
Passo 5
Como
e não existe
com
, concluímos que
não é nem idempotente nem nilpotente.
Resposta
Nenhuma das duas propriedades.