Verifique se os seguintes operadores lineares do R^{3} são idempotentes/ ou nilpotentes ou nenhuma das duas propriedades.
F(x, y, z)=(z, x, y)

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
F\colon \mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3,\quad F(x,y,z)=(z,x,y)
e pede para verificar se F é idempotente (isto é, \,F^2=F), nilpotente (isto é, existe k tal que F^k=0) ou nenhuma das duas propriedades.

Passo 2

Vamos calcular F^2. Para qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
F^2(x,y,z)=F\bigl(F(x,y,z)\bigr)=F(z,x,y)=(y,z,x).

Passo 3

Para ser idempotente precisaríamos de
F^2(x,y,z)=F(x,y,z)\quad\forall(x,y,z),
ou seja
(y,z,x)=(z,x,y)\quad\forall(x,y,z).
Isso exigiria y=z, z=x e x=y para todos os vetores, o que é falso. Logo, F não é idempotente.

Passo 4

Agora calculemos F^3:
F^3(x,y,z)=F\bigl(F^2(x,y,z)\bigr)=F(y,z,x)=(x,y,z).
Portanto F^3=\mathrm{Id}, não sendo o operador zero para nenhum k. Como F^k não se anula para todo k, F não é nilpotente.

Passo 5

Como F^2\neq F e não existe k com F^k=0, concluímos que F não é nem idempotente nem nilpotente.

Resposta

Nenhuma das duas propriedades.

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