Sejam F, G \in L\left(R^{3}, R^{2}\right) definidas por F(x, y, z)=(0,2 x) e G(x, y, z)=(x-y, x) e \mathrm{H} \in \mathrm{L}\left(\mathrm{R}^{2}\right) dado por \mathrm{H}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x}-\mathrm{y}). Determinar :
\mathrm{Ho}(2 \mathrm{~F}+3 \mathrm{G})

Passo 1

O enunciado fornece três aplicações lineares:
F,G: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 definidas por
F(x,y,z) = (0,2x), \qquad G(x,y,z) = (x-y,\,x),
e
\,H:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dada por
H(u,v) = (u+v,\,u-v).
Queremos determinar a composição
H\circ\bigl(2F + 3G\bigr): \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2.
Para isso usaremos a linearidade de F e G e a definição de H.

Passo 2

Calcular 2F e 3G em um vetor genérico (x,y,z).
Pela definição de multiplicação escalar em aplicações lineares,
2F(x,y,z) = 2\,(0,2x) = (0,\,4x),
3G(x,y,z) = 3\,(x-y,\,x) = (3(x-y),\,3x).

Passo 3

Somar as duas aplicações para obter (2F+3G)(x,y,z).
(2F+3G)(x,y,z) = (0,4x) + \bigl(3(x-y),\,3x\bigr) = \bigl(3(x-y),\,4x+3x\bigr) = \bigl(3x-3y,\,7x\bigr).

Passo 4

Agora aplicamos H ao resultado de 2F+3G. Se definirmos
u = 3x-3y, \quad v = 7x,
então
H\bigl(u,v\bigr) = (u+v,\,u-v).
Substituindo u e v em termos de x,y,
u+v = (3x-3y) + 7x = 10x - 3y,
u-v = (3x-3y) - 7x = -4x - 3y.

Resposta

\bigl(H\circ(2F+3G)\bigr)(x,y,z) = \bigl(10x - 3y,\,-4x - 3y\bigr).

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