Sejam F, G \in L\left(R^{3}, R^{2}\right) definidas por F(x, y, z)=(0,2 x) e G(x, y, z)=(x-y, x) e \mathrm{H} \in \mathrm{L}\left(\mathrm{R}^{2}\right) dado por \mathrm{H}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x}-\mathrm{y}). Determinar :
(\mathrm{H}+\mathrm{I}) \circ \mathrm{F}, onde I é o operador idêntico de \mathrm{R}^{2}, ou seja, \mathrm{I}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(\mathrm{x}, \mathrm{y})

Passo 1

O enunciado apresenta os operadores lineares
\;F,G: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com
F(x,y,z) = (0,2x), \quad G(x,y,z) = (x-y,\,x),
e
\;H: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dado por
H(u,v) = (u+v,\,u-v).
Queremos calcular (H+I)\circ F, onde I: \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é a identidade I(u,v)=(u,v).
Conteúdo: soma de operadores lineares e composição.

Passo 2

Primeiro determinamos a soma de operadores (H+I):\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2. Para (u,v)\in\mathbb{R}^2,
(H+I)(u,v) \;=\; H(u,v) + I(u,v) \;=\; (u+v,\,u-v) + (u,v) \;=\; (u+v+u,\;u-v+v) \;=\; (2u+v,\;u).

Passo 3

Agora compondo com F: para (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
F(x,y,z) = (0,\,2x),
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\bigl((H+I)\circ F\bigr)(x,y,z) = (H+I)\bigl(0,\,2x\bigr) = \bigl(2\cdot 0 + 2x,\;0\bigr) = (2x,\,0).

Resposta

(H+I)\circ F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 é dado por
\bigl((H+I)\circ F\bigr)(x,y,z) = (2x,\,0).

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