Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade para todo
:
Informações dadas/que usamos:
é um número complexo qualquer;
é a unidade imaginária (
); a função exponencial
está definida para
e vale a propriedade
. A tarefa é mostrar que a igualdade acima vale para qualquer
.
Passo 2
Vamos lembrar (e usar) as definições de seno e cosseno para argumentos complexos via exponenciais — essa é a forma mais direta para trabalhar com identidades envolvendo números complexos:
Explicando cada símbolo:
-
é o argumento, aqui complexo; -
é a função exponencial complexa; -
é a unidade imaginária; - as fórmulas acima generalizam as fórmulas reais e são equivalentes às séries de Taylor de
e .
Também usamos a propriedade básica do exponencial complexa: para quaisquer,
Passo 3
Uma verificação útil (e fácil a partir das definições) é a identidade de Euler
que se obtém somando e subtraindo as duas definições acima. Isso também nos permite avaliar exponenciais em ângulos conhecidos: por exemplo, para o número real
temos os valores trigonométricos clássicos
e
. Portanto, aplicando
a
resulta
Do mesmo modo,
(Obs.:
.)
Passo 4
Agora calculamos
usando a definição exponencial de
. Colocando
na fórmula de
,
Usando
e os valores de
obtidos no passo anterior, desenvolvemos cada termo:
Passo 5
Substituindo esses resultados em
obtemos
Agora manipule essa expressão para pôr na forma da definição de
. Observe que
Mas pela definição de
temos
Como
, segue que
Portanto a expressão que obtivemos para
é exatamente igual a
.
Passo 6
Concluímos, para todo
,
Dica de prova na hora da prova: memoriza as definições exponenciais de
e
— muitas identidades trigonométricas complexas viram contas de exponenciais e usam apenas
e valores simples como
. Vai te salvar tempo e evitar armadilhas.