Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
\operatorname{sen} z=\cos \left(\frac{\pi}{2}-z\right);

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade para todo z\in\mathbb{C}:
\sin z = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right).
Informações dadas/que usamos: z é um número complexo qualquer; i é a unidade imaginária ( i^2=-1); a função exponencial e^w está definida para w\in\mathbb{C} e vale a propriedade e^{a+b}=e^a e^b. A tarefa é mostrar que a igualdade acima vale para qualquer z.

Passo 2

Vamos lembrar (e usar) as definições de seno e cosseno para argumentos complexos via exponenciais — essa é a forma mais direta para trabalhar com identidades envolvendo números complexos:
\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}, \qquad \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Explicando cada símbolo:
  • z é o argumento, aqui complexo;
  • e^{w} é a função exponencial complexa;
  • i é a unidade imaginária;
  • as fórmulas acima generalizam as fórmulas reais e são equivalentes às séries de Taylor de \sin e \cos.
    Também usamos a propriedade básica do exponencial complexa: para quaisquer a,b\in\mathbb{C},
e^{a+b}=e^{a}e^{b}.

Passo 3

Uma verificação útil (e fácil a partir das definições) é a identidade de Euler
e^{iz}=\cos z + i\sin z,
que se obtém somando e subtraindo as duas definições acima. Isso também nos permite avaliar exponenciais em ângulos conhecidos: por exemplo, para o número real \tfrac{\pi}{2} temos os valores trigonométricos clássicos \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0 e \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1. Portanto, aplicando e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta a \theta=\tfrac{\pi}{2} resulta
e^{i\pi/2}=0+i\cdot1=i.
Do mesmo modo,
e^{-i\pi/2} = \bigl(e^{i\pi/2}\bigr)^{-1} = i^{-1} = -i.
(Obs.: 1/i=-i.)

Passo 4

Agora calculamos \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr) usando a definição exponencial de \cos. Colocando w=\tfrac{\pi}{2}-z na fórmula de \cos,
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{e^{i(\pi/2 - z)} + e^{-i(\pi/2 - z)}}{2}.
Usando e^{a+b}=e^{a}e^{b} e os valores de e^{\pm i\pi/2} obtidos no passo anterior, desenvolvemos cada termo:
e^{i(\pi/2 - z)} = e^{i\pi/2} e^{-iz} = i\,e^{-iz},
e^{-i(\pi/2 - z)} = e^{-i\pi/2} e^{iz} = (-i)\,e^{iz}.

Passo 5

Substituindo esses resultados em \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr) obtemos
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right) = \frac{i\,e^{-iz} + (-i)\,e^{iz}}{2} = \frac{i\bigl(e^{-iz}-e^{iz}\bigr)}{2}.
Agora manipule essa expressão para pôr na forma da definição de \sin z. Observe que
\frac{i\bigl(e^{-iz}-e^{iz}\bigr)}{2} = \frac{-i\bigl(e^{iz}-e^{-iz}\bigr)}{2}.
Mas pela definição de \sin z temos
\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = \frac{1}{2i}\bigl(e^{iz}-e^{-iz}\bigr).
Como 1/(2i) = -\,i/2, segue que
\sin z = -\frac{i\bigl(e^{iz}-e^{-iz}\bigr)}{2} = \frac{i\bigl(e^{-iz}-e^{iz}\bigr)}{2}.
Portanto a expressão que obtivemos para \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}-z\bigr) é exatamente igual a \sin z.

Passo 6

Concluímos, para todo z\in\mathbb{C},
\sin z = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}-z\right).
Dica de prova na hora da prova: memoriza as definições exponenciais de \sin e \cos — muitas identidades trigonométricas complexas viram contas de exponenciais e usam apenas e^{a+b}=e^a e^b e valores simples como e^{i\pi/2}=i. Vai te salvar tempo e evitar armadilhas.

Resposta

\sin z = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-z\right)

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