Verifique as seguintes propriedades da função exponencial
\left(z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in\right. \mathbb{Z} ):
\mathrm{g})\left(e^{z}\right)^{n}=e^{n z};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade \left(e^{z}\right)^{n}=e^{n z} para \,z\in\mathbb{C}\, e n\in\mathbb{Z}.
Informações/dados do enunciado:
  • A variável complexa é \,z\in\mathbb{C}\,.
  • O expoente é um inteiro n\in\mathbb{Z}.
  • A igualdade a ser provada é \left(e^{z}\right)^{n}=e^{n z}.

Passo 2

Vou lembrar a definição e uma propriedade fundamental da função exponencial que vou usar.
Definição (série de potências): a função exponencial complexa é definida por
e^{w}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!},
onde w\in\mathbb{C}. Aqui k! é o fatorial de k e w^{k} é a potência usual em \mathbb{C}.
Propriedade fundamental (adição de argumentos): para quaisquer u,v\in\mathbb{C} vale
e^{u+v}=e^{u}\,e^{v}.
Explicação didática de por que isso vale (usando a série): escrevendo as séries para e^{u} e e^{v} e fazendo o produto (produto de Cauchy) obtém-se a série de e^{u+v}:
\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{u^{k}}{k!}\right)\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{v^{m}}{m!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{n}\frac{u^{k}v^{\,n-k}}{k!(n-k)!}\right) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{k}v^{\,n-k}.
Pela fórmula do binômio temos \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{k}v^{\,n-k}=(u+v)^{n}, portanto a soma acima é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(u+v)^{n}}{n!}=e^{u+v}.
Assim e^{u}e^{v}=e^{u+v}. Essa identidade é a ferramenta chave para manipular expoentes.

Passo 3

Caso n seja inteiro positivo ( n\in\mathbb{N}, n\ge1): escrevemos \left(e^{z}\right)^{n} como produto repetido de n fatores e^{z}:
\left(e^{z}\right)^{n}= \underbrace{e^{z}\cdot e^{z}\cdots e^{z}}_{n\\ \text{fatores}}.
Usando repetidamente a propriedade e^{u}e^{v}=e^{u+v} (aplicada n-1 vezes) obtemos
\left(e^{z}\right)^{n}=e^{z+z+\cdots+z}=e^{n z}.
Comentário: esse passo também pode ser visto por indução em n. A base n=1 é óbvia e o passo indutivo usa (e^{z})^{n+1}=(e^{z})^n e^{z}=e^{nz}e^{z}=e^{(n+1)z}.

Passo 4

Caso n=0: por definição de potência, \left(e^{z}\right)^{0}=1. Também e^{0}=1, logo
\left(e^{z}\right)^{0}=1=e^{0}=e^{0\cdot z},
portanto a igualdade vale para n=0.

Passo 5

Caso n seja inteiro negativo: escreva n=-m com m\in\mathbb{N}. Então
\left(e^{z}\right)^{n}=\left(e^{z}\right)^{-m}=\frac{1}{\left(e^{z}\right)^{m}}.
Pelo caso de m positivo já provado, \left(e^{z}\right)^{m}=e^{m z}. Assim
\left(e^{z}\right)^{n}=\frac{1}{e^{m z}}.
Agora use a propriedade da exponencial com soma de argumentos: e^{m z}e^{-m z}=e^{0}=1. Daí 1/e^{m z}=e^{-m z}. Substituindo m=-n obtemos
\left(e^{z}\right)^{n}=e^{-m z}=e^{n z}.

Passo 6

Reunindo os casos:
  • n>0: provado no Passo 3;
  • n=0: provado no Passo 4;
  • n<0: provado no Passo 5.
Logo para todo inteiro n\in\mathbb{Z} e todo z\in\mathbb{C} vale
\left(e^{z}\right)^{n}=e^{n z}.

Resposta

\left(e^{z}\right)^{n}=e^{n z}

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