Verifique as seguintes propriedades da função exponencial \left(z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in\right. \mathbb{Z} ): \mathrm{g})\left(e^{z}\right)^{n}=e^{n z};
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade \left(e^{z}\right)^{n}=e^{n z} para \,z\in\mathbb{C}\, e n\in\mathbb{Z}.
Informações/dados do enunciado:
A variável complexa é \,z\in\mathbb{C}\,.
O expoente é um inteiro n\in\mathbb{Z}.
A igualdade a ser provada é \left(e^{z}\right)^{n}=e^{n z}.
Passo 2
Vou lembrar a definição e uma propriedade fundamental da função exponencial que vou usar.
Definição (série de potências): a função exponencial complexa é definida por
e^{w}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!},
onde w\in\mathbb{C}. Aqui k! é o fatorial de k e w^{k} é a potência usual em \mathbb{C}.
Propriedade fundamental (adição de argumentos): para quaisquer u,v\in\mathbb{C} vale
e^{u+v}=e^{u}\,e^{v}.
Explicação didática de por que isso vale (usando a série): escrevendo as séries para e^{u} e e^{v} e fazendo o produto (produto de Cauchy) obtém-se a série de e^{u+v}:
Usando repetidamente a propriedade e^{u}e^{v}=e^{u+v} (aplicada n-1 vezes) obtemos
\left(e^{z}\right)^{n}=e^{z+z+\cdots+z}=e^{n z}.
Comentário: esse passo também pode ser visto por indução em n. A base n=1 é óbvia e o passo indutivo usa (e^{z})^{n+1}=(e^{z})^n e^{z}=e^{nz}e^{z}=e^{(n+1)z}.
Passo 4
Caso n=0: por definição de potência, \left(e^{z}\right)^{0}=1. Também e^{0}=1, logo
\left(e^{z}\right)^{0}=1=e^{0}=e^{0\cdot z},
portanto a igualdade vale para n=0.
Passo 5
Caso n seja inteiro negativo: escreva n=-m com m\in\mathbb{N}. Então