Verifique as seguintes propriedades da função exponencial \left(z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ; n \in\right. \mathbb{Z} ): e^{Z} é inteira e \left(e^{Z}\right)^{\prime}=e^{Z}.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
Queremos verificar duas coisas:
que a função exponencial complexa \,e^{z}\, é inteira, isto é, é holomorfa (diferenciável complexamente) em todo o plano \mathbb{C};
que a derivada complexa satisfaz \left(e^{z}\right)^{\prime}=e^{z} para todo z\in\mathbb{C}.
Informação de partida que vamos usar: a função exponencial é definida pela série de potências centrada em 0
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}.
Aqui o índice n varia em \mathbb{N}\cup\{0\}. Nesta resolução vamos trabalhar com essa série de potências e usar propriedades padrão de séries de potências (convergência, diferenciação termo a termo, convergência uniforme em compactos).
Passo 2
Mostrar que a série \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!} converge absolutamente para todo z\in\mathbb{C} (ou seja, raio de convergência infinito).
Para um z\in\mathbb{C} fixo considere os termos a_{n}=\dfrac{z^{n}}{n!}. Aplique o teste da razão: calcule
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n!} converge absolutamente.
Essa conclusão vale para todo z\in\mathbb{C}. Portanto o raio de convergência da série é R=\infty. Logo a série define uma função complexa bem definida em todo o plano.
Passo 3
Mostrar convergência uniforme em discos compactos (isso é útil para permitir diferenciação termo a termo).
Seja R>0. Para |z|\le R temos
\left|\frac{z^{n}}{n!}\right|\le\frac{R^{n}}{n!}.
A série numérica \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{R^{n}}{n!} converge (é a série da exponencial real). Pelo critério de Weierstrass (M-test), a série de funções \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n!} converge uniformemente no disco fechado \{z:|z|\le R\}.
Como R>0 era arbitrário, a série converge uniformemente em todo compacto de \mathbb{C}.
Passo 4
Teorema que usaremos: uma série de potências tem derivada obtida pela diferenciação termo a termo dentro do seu raio de convergência. Explicação didática curta por que isso é permitido:
Se uma série de funções \sum_{n=0}^{\infty}f_{n}(z) converge uniformemente em um compacto e as derivadas f_{n}'(z) convergem uniformemente nesse compacto, então a soma é diferenciável e pode-se derivar termo a termo.
No caso da série de potências \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^{n}}{n!} temos que cada termo \dfrac{z^{n}}{n!} é polinomial (logo derivável) e a série das derivadas
também converge uniformemente em discos fechados por um raciocínio análogo ao do Passo 3 (usar comparação com \sum R^{n-1}/(n-1)!). Assim pode-se trocar soma e derivada e obter a derivada da soma igual à soma das derivadas.
Passo 5
Calcular a derivada termo a termo e verificar que dá a própria função exponencial.
Portanto a derivada é \left(e^{z}\right)^{\prime}=e^{z} para todo z\in\mathbb{C}.
Passo 6
Concluir que \,e^{z}\, é inteira.
Já mostramos que a série que define e^{z} converge para todo z\in\mathbb{C} e que em qualquer ponto z_{0} há uma representação por série de potências com raio de convergência infinito. Como dentro do raio de convergência a soma de uma série de potências é holomorfa e podemos derivar term a term, segue que e^{z} é holomorfa em todo \mathbb{C}.
Uma função holomorfa em todo o plano é dita inteira. Logo e^{z} é inteira.
Resposta
e^{z} é inteira e \left(e^{z}\right)^{\prime}=e^{z}.