Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno ( z, z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C} ):
\quad|\cos z|^{2}=\cos ^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y;

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo a função cosseno complexa. Vamos listar claramente o que temos e o que é pedido:
  • Temos z\in\mathbb{C}. Escrevemos z na forma usual de duas partes reais:
z = x + i y,
onde x,y\in\mathbb{R} (peguei essa decomposição de z\in\mathbb{C}).
  • A igualdade a verificar é
|\cos z|^{2}=\cos^{2} x+\operatorname{senh}^{2} y.
(Na notação matemática usual, \operatorname{senh}y é o mesmo que \operatorname{sinh} y.)
O objetivo é mostrar passo a passo que, para z=x+iy, a igualdade acima é verdadeira.

Passo 2

Definições e fórmulas básicas que vamos usar (explicadas de leve para não pular etapas):
  • Definição exponencial do cosseno complexo:
\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}.
Isto é uma extensão direta da definição real para números complexos; vale para todo z\in\mathbb{C}.
  • Fórmula de Euler (para argumentos reais t):
e^{it}=\cos t + i\sin t,\qquad e^{-it}=\cos t - i\sin t.
Isso permite escrever exponenciais complexas em termos de seno e cosseno reais.
  • Definições das funções hiperbólicas (para y\in\mathbb{R}):
\operatorname{cosh} y=\frac{e^{y}+e^{-y}}{2},\qquad \operatorname{sinh} y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}.
Observação útil: \operatorname{cosh}^{2}y-\operatorname{sinh}^{2}y=1, e portanto \operatorname{cosh}^{2}y=1+\operatorname{sinh}^{2}y.
  • Módulo ao quadrado de um número complexo: se w=a+ib com a,b\in\mathbb{R}, então
|w|^{2}=a^{2}+b^{2}.
Vamos aplicar tudo isso ao caso w=\cos z.

Passo 3

Calcular e^{iz} e e^{-iz} para z=x+iy. Primeiro note
iz = i(x+iy)=ix - y.
Assim
e^{iz}=e^{ix-y}=e^{-y}e^{ix}, \qquad e^{-iz}=e^{-ix+y}=e^{y}e^{-ix}.
Estas expressões separam a parte real exponencial e^{\pm y} da oscilação e^{\pm i x}, o que será útil para identificar parte real e imaginária do cosseno.

Passo 4

Substituir em \cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} e usar a fórmula de Euler para e^{\pm i x}:
\cos z=\frac{e^{-y}e^{ix}+e^{y}e^{-ix}}{2}.
Escrevendo e^{ix}=\cos x + i\sin x e e^{-ix}=\cos x - i\sin x obtemos
\cos z=\frac{e^{-y}(\cos x + i\sin x)+e^{y}(\cos x - i\sin x)}{2}.
Agrupando termos reais e imaginários:
\cos z=\cos x\cdot\frac{e^{-y}+e^{y}}{2}+i\sin x\cdot\frac{e^{-y}-e^{y}}{2}.
Usando as definições hiperbólicas \operatorname{cosh} y=\dfrac{e^{y}+e^{-y}}{2} e \operatorname{sinh} y=\dfrac{e^{y}-e^{-y}}{2}, a expressão fica
\cos z=\cos x\operatorname{cosh} y + i\sin x\left(\frac{e^{-y}-e^{y}}{2}\right).
Observando que \dfrac{e^{-y}-e^{y}}{2}=-\operatorname{sinh} y, concluímos
\cos z=\cos x\operatorname{cosh} y - i\sin x\operatorname{sinh} y.
Portanto a parte real de \cos z é \cos x\operatorname{cosh} y e a parte imaginária é -\sin x\operatorname{sinh} y.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do módulo ao quadrado de um número complexo. Para w=\cos z com
w=\cos x\operatorname{cosh} y - i\sin x\operatorname{sinh} y,
temos
|\cos z|^{2}=(\cos x\operatorname{cosh} y)^{2}+(-\sin x\operatorname{sinh} y)^{2}.
Como o quadrado de -\sin x\operatorname{sinh} y é igual ao quadrado sem o sinal, isto é,
|\cos z|^{2}=\cos^{2}x\operatorname{cosh}^{2}y+\sin^{2}x\operatorname{sinh}^{2}y.

Passo 6

Fazer a simplificação final usando identidades conhecidas. Sabemos que \operatorname{cosh}^{2}y=1+\operatorname{sinh}^{2}y e que \cos^{2}x+\sin^{2}x=1. Substituindo \operatorname{cosh}^{2}y em cima:
|\cos z|^{2}=\cos^{2}x\bigl(1+\operatorname{sinh}^{2}y\bigr)+\sin^{2}x\operatorname{sinh}^{2}y.
Distribuindo:
|\cos z|^{2}=\cos^{2}x + \cos^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y + \sin^{2}x\,\operatorname{sinh}^{2}y.
Agrupando os últimos dois termos:
|\cos z|^{2}=\cos^{2}x + \operatorname{sinh}^{2}y\bigl(\cos^{2}x+\sin^{2}x\bigr).
Como \cos^{2}x+\sin^{2}x=1, obtemos a forma desejada:
|\cos z|^{2}=\cos^{2}x+\operatorname{sinh}^{2}y.

Resposta

|\cos z|^{2}=\cos^{2}x+\operatorname{senh}^{2}y

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