Verifique as seguintes propriedades das funções seno e cosseno (
):
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo a função cosseno complexa. Vamos listar claramente o que temos e o que é pedido:
- Temos
. Escrevemos na forma usual de duas partes reais:
onde
(peguei essa decomposição de
).
- A igualdade a verificar é
(Na notação matemática usual,
é o mesmo que
.)
O objetivo é mostrar passo a passo que, para
, a igualdade acima é verdadeira.
Passo 2
Definições e fórmulas básicas que vamos usar (explicadas de leve para não pular etapas):
- Definição exponencial do cosseno complexo:
Isto é uma extensão direta da definição real para números complexos; vale para todo
.
- Fórmula de Euler (para argumentos reais
):
Isso permite escrever exponenciais complexas em termos de seno e cosseno reais.
- Definições das funções hiperbólicas (para
):
Observação útil:
, e portanto
.
- Módulo ao quadrado de um número complexo: se
com , então
Vamos aplicar tudo isso ao caso
.
Passo 3
Calcular
e
para
. Primeiro note
Assim
Estas expressões separam a parte real exponencial
da oscilação
, o que será útil para identificar parte real e imaginária do cosseno.
Passo 4
Substituir em
e usar a fórmula de Euler para
:
Escrevendo
e
obtemos
Agrupando termos reais e imaginários:
Usando as definições hiperbólicas
e
, a expressão fica
Observando que
, concluímos
Portanto a parte real de
é
e a parte imaginária é
.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do módulo ao quadrado de um número complexo. Para
com
temos
Como o quadrado de
é igual ao quadrado sem o sinal, isto é,
Passo 6
Fazer a simplificação final usando identidades conhecidas. Sabemos que
e que
. Substituindo
em cima:
Distribuindo:
Agrupando os últimos dois termos:
Como
, obtemos a forma desejada: