Verifique que as seguintes funções não possuem limite quando
:
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede para verificar que não existe o limite de
quando
.
Informações relevantes fornecidas:
- A variável complexa é
e o ponto de interesse é . -
é a parte real de . Se com , então . -
é o módulo de . Se , então . - O objetivo é mostrar que
não existe.
Passo 2
O que significa “não existe limite” aqui? Vou lembrar a definição de limite para funções complexas de forma simples e direta.
Definição (épsilon–delta): dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
, tem-se
.
Uma forma prática e muito usada para provar que um limite não existe é a seguinte: se existir pelo menos duas maneiras de aproximar
(duas sequências ou duas direções) que façam
tender a valores diferentes, então não há um único
satisfazendo a definição acima — logo o limite não existe. Vou usar esse método.
Passo 3
Primeiro, escrevendo
em coordenadas cartesianas:
com
. Então
Isso já é útil para calcular valores de
em caminhos simples que vão a
.
Passo 4
Aproximação pelo eixo real positivo: escolher pontos
com
real e
. Para esses pontos temos
, logo
Portanto, ao aproximar
pelo lado direito do eixo real, os valores de
são constantemente
. Logo
Passo 5
Aproximação pelo eixo imaginário: escolher pontos
com
e
. Para esses pontos
, então
Logo, ao aproximar
pelo eixo imaginário, os valores de
são
e
Passo 6
Agora a contradição direta: suponha, por absurdo, que exista
tal que
. Então quaisquer sequências
devem satisfazer
. Mas das duas aproximações acima obtemos sequências com limites diferentes: aproximando por
obtemos
, e aproximando por
obtemos
. Não é possível ter
e
ao mesmo tempo. Portanto a suposição de existência de
é falsa, e o limite não existe.
Se quiser ver isso em termos de
-contradição: tome
. Se existisse
tal que
sempre que
, então para
no eixo real positivo com
teríamos
, e para
no eixo imaginário com
teríamos
. Isso implicaria
e
, o que é impossível (pela desigualdade triangular implicaria
, contradição estrita). Logo não existe
que funcione.
Passo 7
Um argumento mais forte e elegante: usar coordenadas polares. Escreva
com
e
. Tem-se
. Então, para
,
Observe que esse valor não depende de
(ou seja, não depende de quão perto de
estamos), mas depende do ângulo
. Assim, aproximando
por diferentes direções com ângulos fixos
obtemos limites iguais a
. Como
assume valores diferentes para direções diferentes (por exemplo,
e
), não existe um único número
que seja o limite para todas as direções. Portanto
não existe. Este argumento também mostra que, ao longo de diferentes caminhos, pode-se obter qualquer valor no intervalo
.
Resposta
O limite não existe.