Verifique que as seguintes funções não possuem limite quando Z \rightarrow 0 :
f(z)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(z)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|}
e pede para verificar que não existe o limite de f(z) quando z\to 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A variável complexa é z\in\mathbb{C} e o ponto de interesse é z=0.
  • \operatorname{Re}(z) é a parte real de z. Se z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}, então \operatorname{Re}(z)=x.
  • |z| é o módulo de z. Se z=x+iy, então |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O objetivo é mostrar que \lim_{z\to 0} f(z) não existe.

Passo 2

O que significa “não existe limite” aqui? Vou lembrar a definição de limite para funções complexas de forma simples e direta.
Definição (épsilon–delta): dizemos que
\lim_{z\to 0} f(z)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|z-0|<\delta, tem-se |f(z)-L|<\varepsilon.
Uma forma prática e muito usada para provar que um limite não existe é a seguinte: se existir pelo menos duas maneiras de aproximar 0 (duas sequências ou duas direções) que façam f(z) tender a valores diferentes, então não há um único L satisfazendo a definição acima — logo o limite não existe. Vou usar esse método.

Passo 3

Primeiro, escrevendo z em coordenadas cartesianas: z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Então
f(z)=\frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Isso já é útil para calcular valores de f em caminhos simples que vão a 0.

Passo 4

Aproximação pelo eixo real positivo: escolher pontos z=x com x>0 real e x\to 0^+. Para esses pontos temos y=0, logo
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+0^{2}}}=\frac{x}{|x|}=1\quad\text{para }x>0.
Portanto, ao aproximar 0 pelo lado direito do eixo real, os valores de f(z) são constantemente 1. Logo
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=1.

Passo 5

Aproximação pelo eixo imaginário: escolher pontos z=iy com y\in\mathbb{R} e y\to 0. Para esses pontos x=0, então
f(iy)=\frac{0}{\sqrt{0^{2}+y^{2}}}=0\quad\text{para }y\neq 0.
Logo, ao aproximar 0 pelo eixo imaginário, os valores de f são 0 e
\lim_{y\to 0} f(iy)=0.

Passo 6

Agora a contradição direta: suponha, por absurdo, que exista L\in\mathbb{R} tal que \lim_{z\to 0} f(z)=L. Então quaisquer sequências z_n\to 0 devem satisfazer f(z_n)\to L. Mas das duas aproximações acima obtemos sequências com limites diferentes: aproximando por x>0 obtemos f\to 1, e aproximando por iy obtemos f\to 0. Não é possível ter L=1 e L=0 ao mesmo tempo. Portanto a suposição de existência de L é falsa, e o limite não existe.
Se quiser ver isso em termos de \varepsilon-contradição: tome \varepsilon=\tfrac{1}{2}. Se existisse \delta>0 tal que |f(z)-L|<\tfrac{1}{2} sempre que 0<|z|<\delta, então para z no eixo real positivo com |z|<\delta teríamos |1-L|<\tfrac{1}{2}, e para z no eixo imaginário com |z|<\delta teríamos |0-L|<\tfrac{1}{2}. Isso implicaria |1-L|<\tfrac{1}{2} e |L|<\tfrac{1}{2}, o que é impossível (pela desigualdade triangular implicaria 1=|1-0|\le |1-L|+|L|<\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1, contradição estrita). Logo não existe \delta que funcione.

Passo 7

Um argumento mais forte e elegante: usar coordenadas polares. Escreva z=r e^{i\theta} com r=|z| e \theta=\arg z. Tem-se \operatorname{Re}(z)=r\cos\theta. Então, para z\neq 0,
f(z)=\frac{r\cos\theta}{r}=\cos\theta.
Observe que esse valor não depende de r (ou seja, não depende de quão perto de 0 estamos), mas depende do ângulo \theta. Assim, aproximando 0 por diferentes direções com ângulos fixos \theta obtemos limites iguais a \cos\theta. Como \cos\theta assume valores diferentes para direções diferentes (por exemplo, \cos 0=1 e \cos(\pi/2)=0), não existe um único número L que seja o limite para todas as direções. Portanto \lim_{z\to 0} f(z) não existe. Este argumento também mostra que, ao longo de diferentes caminhos, pode-se obter qualquer valor no intervalo [-1,1].

Resposta

O limite não existe.

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