Resolva as seguintes equações:
e^{z}=1+i

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá:
  • Pede: encontrar todos os números complexos z tais que e^{z}=1+i.
  • Informação do enunciado: o lado direito é o número complexo 1+i. Informações úteis que já podemos anotar (extraídas do enunciado):
    • o módulo de 1+i é \left|1+i\right|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2};
    • um argumento (principal) de 1+i é \dfrac{\pi}{4} porque 1+i está no 1.º quadrante com mesma parte real e imaginária positivas.
  • Objetivo claro: achar todos os z\in\mathbb{C} que satisfazem a equação (ou seja, a solução geral, porque a exponencial complexa é periódica).

Passo 2

Escrever z em coordenadas reais: seja z=x+iy com x,y\in\mathbb{R}. Usando a identidade de Euler para a exponencial complexa:
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr).
Portanto a equação e^{z}=1+i fica
e^{x}\bigl(\cos y+i\sin y\bigr)=1+i.

Passo 3

Comparar módulos (explicação didática):
  • Para números complexos w_1,w_2 vale |w_1w_2|=|w_1||w_2|.
  • Tomando módulo em ambos os lados de e^{x}(\cos y+i\sin y)=1+i obtemos
e^{x}\cdot\bigl|\cos y+i\sin y\bigr|=|1+i|.
Mas \bigl|\cos y+i\sin y\bigr|=1 (porque \cos^{2}y+\sin^{2}y=1), portanto
e^{x}=|1+i|=\sqrt{2}.
Assim
x=\ln\!\bigl(\sqrt{2}\bigr)=\frac{1}{2}\ln 2.
Comentário: isso significa que a parte real de todas as soluções é fixa e dada por \dfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 4

Comparar argumentos (explicação didática):
  • Para um número complexo não nulo w pode-se escrever w=|w|e^{i\arg(w)}. Aqui já vimos que e^{x}=|1+i|, então devemos ter
e^{iy}=\frac{1+i}{|1+i|}.
Calculando o lado direito com os dados que anotamos em

Passo 5

\frac{1+i}{|1+i|}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right).
Logo e^{iy}=e^{i\pi/4}. Agora lembrar da periodicidade: a função y\mapsto e^{iy} tem período 2\pi, isto é, e^{i(y+2\pi k)}=e^{iy} para todo k\in\mathbb{Z}. Portanto as soluções para y são
y=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicação curta: as igualdades simultâneas \cos y=\cos(\pi/4) e \sin y=\sin(\pi/4) forçam y a diferir de \pi/4 por um múltiplo inteiro de 2\pi.

Passo 6

Reunindo o que encontramos:
  • parte real x=\dfrac{1}{2}\ln 2;
  • parte imaginária y=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}.

Passo 7

Verificação rápida com um exemplo concreto (útil para a prova):
  • Para k=0 temos z_{0}=\dfrac{1}{2}\ln 2 + i\dfrac{\pi}{4}. Calcular e^{z_{0}}:
e^{z_{0}}=e^{\tfrac{1}{2}\ln 2}\,e^{i\pi/4}=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=1+i,
portanto a solução com k=0 confere. Como e^{z} é 2\pi i-periódica (isto é, e^{z+2\pi i k}=e^{z}), todas as outras soluções com k\in\mathbb{Z} também servem.

Passo 8

Forma alternativa, mais compacta (para lembrar na prova): usar o logaritmo complexo. A solução pode ser escrita como
z=\Log(1+i)+2\pi i k,
onde a logaritmo principal é \Log(1+i)=\ln\bigl|1+i\bigr|+i\Arg(1+i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\tfrac{\pi}{4} e k\in\mathbb{Z}.

Resposta

z=\frac{1}{2}\ln 2 + i\!\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.

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