Logo e^{iy}=e^{i\pi/4}. Agora lembrar da periodicidade: a função y\mapsto e^{iy} tem período 2\pi, isto é, e^{i(y+2\pi k)}=e^{iy} para todo k\in\mathbb{Z}. Portanto as soluções para y são
y=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicação curta: as igualdades simultâneas \cos y=\cos(\pi/4) e \sin y=\sin(\pi/4) forçam y a diferir de \pi/4 por um múltiplo inteiro de 2\pi.
Passo 6
Reunindo o que encontramos:
parte real x=\dfrac{1}{2}\ln 2;
parte imaginária y=\dfrac{\pi}{4}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}.
Passo 7
Verificação rápida com um exemplo concreto (útil para a prova):
Para k=0 temos z_{0}=\dfrac{1}{2}\ln 2 + i\dfrac{\pi}{4}. Calcular e^{z_{0}}:
portanto a solução com k=0 confere. Como e^{z} é 2\pi i-periódica (isto é, e^{z+2\pi i k}=e^{z}), todas as outras soluções com k\in\mathbb{Z} também servem.
Passo 8
Forma alternativa, mais compacta (para lembrar na prova): usar o logaritmo complexo. A solução pode ser escrita como
z=\Log(1+i)+2\pi i k,
onde a logaritmo principal é \Log(1+i)=\ln\bigl|1+i\bigr|+i\Arg(1+i)=\tfrac{1}{2}\ln 2 + i\tfrac{\pi}{4} e k\in\mathbb{Z}.