Verifique as seguintes propriedades, onde
são vetores, e
são escalares:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade
.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
são vetores em (ou num espaço onde produto vetorial e escalar são definidos). - O símbolo
denota o produto misto (produto triplo escalar) entre três vetores.
Passo 2
Definição e significado das notações que vou usar:
- O produto misto
é definido por
onde
-
é o produto escalar entre e , -
é o produto vetorial entre e . - Aqui
soma das multiplicações componente a componente; por exemplo, se e então
- O produto vetorial de
e tem componentes
Passo 3
Estratégia: mostrar que o produto misto é linear na segunda componente. Usarei duas propriedades básicas (distributividade):
- O produto vetorial é distributivo em relação à soma:
- O produto escalar é distributivo:
Vou provar (1) e (2) de forma direta por componentes e então combinar para obter a igualdade desejada.
Passo 4
Prova da distributividade do produto vetorial por componentes (propriedade 1).
Escreva ,
e
.
Então .
Calcule pelas fórmulas das componentes:
Escreva
Então
Calcule
Distribuindo as somas em cada componente:
Os dois vetores à direita são exatamente
e
. Portanto
Passo 5
Prova da distributividade do produto escalar (propriedade 2).
Se e
,
, então
Se
Distribuindo:
Logo o produto escalar é linear (distributivo) na soma.
Passo 6
Combinação das propriedades para obter o resultado pedido.
Começando do lado esquerdo e usando a definição do produto misto:
Começando do lado esquerdo e usando a definição do produto misto:
Pela distributividade do produto vetorial (Passo 4):
Pela distributividade do produto escalar (Passo 5):
Reconhecendo as definições do produto misto em cada termo:
Portanto a igualdade é verificada.