Verifique as seguintes propriedades, onde \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são vetores, e \alpha, \beta, \gamma, \lambda são escalares:
\left[\vec{u}, \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, \vec{w}\right]=\left[\vec{u}, \vec{v}_{1}, \vec{w}\right]+\left[\vec{u}, \vec{v}_{2}, \vec{w}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
\left[\vec{u}, \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, \vec{w}\right]=\left[\vec{u}, \vec{v}_{1}, \vec{w}\right]+\left[\vec{u}, \vec{v}_{2}, \vec{w}\right].
Informações dadas:
  • \vec{u},\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{w} são vetores em \mathbb{R}^{3} (ou num espaço onde produto vetorial e escalar são definidos).
  • O símbolo [\cdot,\cdot,\cdot] denota o produto misto (produto triplo escalar) entre três vetores.

Passo 2

Definição e significado das notações que vou usar:
  • O produto misto \left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right] é definido por
\left[\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right]=\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}),
onde
  • \vec{a}\cdot\vec{x} é o produto escalar entre \vec{a} e \vec{x},
  • \vec{b}\times\vec{c} é o produto vetorial entre \vec{b} e \vec{c}.
  • Aqui \vec{a}\cdot\vec{x}= soma das multiplicações componente a componente; por exemplo, se \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{x}=(x_1,x_2,x_3) então
\vec{a}\cdot\vec{x}=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3.
  • O produto vetorial de \vec{p}=(p_1,p_2,p_3) e \vec{q}=(q_1,q_2,q_3) tem componentes
\vec{p}\times\vec{q}=\big(p_2q_3-p_3q_2,\; p_3q_1-p_1q_3,\; p_1q_2-p_2q_1\big).

Passo 3

Estratégia: mostrar que o produto misto é linear na segunda componente. Usarei duas propriedades básicas (distributividade):
  1. O produto vetorial é distributivo em relação à soma: (\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})\times\vec{w}=\vec{v}_{1}\times\vec{w}+\vec{v}_{2}\times\vec{w}.
  2. O produto escalar é distributivo: \vec{u}\cdot(\vec{a}+\vec{b})=\vec{u}\cdot\vec{a}+\vec{u}\cdot\vec{b}.
Vou provar (1) e (2) de forma direta por componentes e então combinar para obter a igualdade desejada.

Passo 4

Prova da distributividade do produto vetorial por componentes (propriedade 1).
Escreva \vec{v}_{1}=(v_{1,1},v_{1,2},v_{1,3}), \vec{v}_{2}=(v_{2,1},v_{2,2},v_{2,3}) e \vec{w}=(w_1,w_2,w_3).
Então \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}=(v_{1,1}+v_{2,1},v_{1,2}+v_{2,2},v_{1,3}+v_{2,3}).
Calcule (\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})\times\vec{w} pelas fórmulas das componentes:
(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})\times\vec{w}=\big((v_{1,2}+v_{2,2})w_3-(v_{1,3}+v_{2,3})w_2,\; (v_{1,3}+v_{2,3})w_1-(v_{1,1}+v_{2,1})w_3,\; (v_{1,1}+v_{2,1})w_2-(v_{1,2}+v_{2,2})w_1\big).
Distribuindo as somas em cada componente:
(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})\times\vec{w}= \big(v_{1,2}w_3-v_{1,3}w_2,\; v_{1,3}w_1-v_{1,1}w_3,\; v_{1,1}w_2-v_{1,2}w_1\big) + \big(v_{2,2}w_3-v_{2,3}w_2,\; v_{2,3}w_1-v_{2,1}w_3,\; v_{2,1}w_2-v_{2,2}w_1\big).
Os dois vetores à direita são exatamente \vec{v}_{1}\times\vec{w} e \vec{v}_{2}\times\vec{w}. Portanto
(\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})\times\vec{w}=\vec{v}_{1}\times\vec{w}+\vec{v}_{2}\times\vec{w}.

Passo 5

Prova da distributividade do produto escalar (propriedade 2).
Se \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{a}=(a_1,a_2,a_3), \vec{b}=(b_1,b_2,b_3), então
\vec{u}\cdot(\vec{a}+\vec{b})=u_1(a_1+b_1)+u_2(a_2+b_2)+u_3(a_3+b_3).
Distribuindo:
\vec{u}\cdot(\vec{a}+\vec{b})=(u_1a_1+u_2a_2+u_3a_3)+(u_1b_1+u_2b_2+u_3b_3)=\vec{u}\cdot\vec{a}+\vec{u}\cdot\vec{b}.
Logo o produto escalar é linear (distributivo) na soma.

Passo 6

Combinação das propriedades para obter o resultado pedido.
Começando do lado esquerdo e usando a definição do produto misto:
\left[\vec{u},\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2},\vec{w}\right]=\vec{u}\cdot\big((\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})\times\vec{w}\big).
Pela distributividade do produto vetorial (Passo 4):
\vec{u}\cdot\big((\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2})\times\vec{w}\big) =\vec{u}\cdot\big(\vec{v}_{1}\times\vec{w}+\vec{v}_{2}\times\vec{w}\big).
Pela distributividade do produto escalar (Passo 5):
\vec{u}\cdot\big(\vec{v}_{1}\times\vec{w}+\vec{v}_{2}\times\vec{w}\big) =\vec{u}\cdot(\vec{v}_{1}\times\vec{w})+\vec{u}\cdot(\vec{v}_{2}\times\vec{w}).
Reconhecendo as definições do produto misto em cada termo:
\vec{u}\cdot(\vec{v}_{1}\times\vec{w})+\vec{u}\cdot(\vec{v}_{2}\times\vec{w}) =\left[\vec{u},\vec{v}_{1},\vec{w}\right]+\left[\vec{u},\vec{v}_{2},\vec{w}\right].
Portanto a igualdade é verificada.

Resposta

\left[\vec{u}, \vec{v}_{1}+\vec{v}_{2}, \vec{w}\right]=\left[\vec{u}, \vec{v}_{1}, \vec{w}\right]+\left[\vec{u}, \vec{v}_{2}, \vec{w}\right]

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