Verifique as seguintes propriedades, onde \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} são vetores, e \alpha, \beta, \gamma, \lambda são escalares:
\lambda[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=[\lambda \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]=[\vec{u}, \lambda \vec{v}, \vec{w}]=[\vec{u}, \vec{v}, \lambda \vec{w}]

Passo 1

O enunciado pede para verificar a igualdade
\lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\lambda \vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\lambda \vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\lambda \vec{w}],
onde \vec{u},\vec{v},\vec{w} são vetores em \mathbb{R}^3 e \lambda é um escalar. Vou listar as informações dadas:
  • A notação [\vec{u},\vec{v},\vec{w}] indica o produto escalar misto (produto triplo escalar).
  • O objetivo é mostrar que um escalar pode ser “fatorado” para fora do produto triplo qualquer que seja a posição em que se multiplica um dos vetores por \lambda.

Passo 2

Definição e ideia principal (sem pular etapas): o produto escalar misto é definido por
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Explicando cada operação:
  • \vec{v}\times\vec{w} é o produto vetorial entre \vec{v} e \vec{w}; resulta num vetor em \mathbb{R}^3.
  • \vec{u}\cdot \big(\cdot\big) é o produto escalar entre \vec{u} e o vetor resultado do produto vetorial; resulta num número real.
    A propriedade que vamos usar é a linearidade do produto escalar em cada argumento e a bilinearidade do produto vetorial em seus dois argumentos: constantes multiplicativas saem dos produtos.

Passo 3

Propriedade do produto escalar (fatoração por um escalar): para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b} e escalar \lambda,
(\lambda \vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Prova rápida e didática: escrevendo em componentes \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3),
(\lambda \vec{a})\cdot\vec{b}=(\lambda a_1)b_1+(\lambda a_2)b_2+(\lambda a_3)b_3 =\lambda(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3) =\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Isto mostra que um escalar multiplicando um dos fatores do produto escalar pode ser puxado para fora.

Passo 4

Propriedade do produto vetorial (fatoração por um escalar): para quaisquer vetores \vec{p},\vec{q} e escalar \lambda,
(\lambda \vec{p})\times\vec{q}=\lambda(\vec{p}\times\vec{q}), \qquad \vec{p}\times(\lambda\vec{q})=\lambda(\vec{p}\times\vec{q}).
Prova rápida e didática: escrevendo o produto vetorial por determinante ou por componentes, cada componente do vetor \vec{p}\times\vec{q} é soma/diferença de produtos do tipo p_i q_j. Se \vec{p} é multiplicado por \lambda, todos os termos p_i q_j ficam (\lambda p_i)q_j=\lambda(p_i q_j), daí a saída comum \lambda. Mesma ideia se \vec{q} for multiplicado.

Passo 5

Agora uso as propriedades anteriores para verificar as igualdades uma a uma.
  1. Verificar [\lambda\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]:
[\lambda\vec{u},\vec{v},\vec{w}] = (\lambda\vec{u})\cdot(\vec{v}\times\vec{w}).
Pela linearidade do produto escalar (Passo 3),
(\lambda\vec{u})\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=\lambda\big(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big)=\lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

Passo 6

  1. Verificar [\vec{u},\lambda\vec{v},\vec{w}]=\lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]:
[\vec{u},\lambda\vec{v},\vec{w}] = \vec{u}\cdot\big((\lambda\vec{v})\times\vec{w}\big).
Pela bilinearidade do produto vetorial (Passo 4), (\lambda\vec{v})\times\vec{w}=\lambda(\vec{v}\times\vec{w}). Então
\vec{u}\cdot\big((\lambda\vec{v})\times\vec{w}\big)=\vec{u}\cdot\big(\lambda(\vec{v}\times\vec{w})\big).
Agora uso a propriedade do produto escalar (Passo 3) para tirar \lambda para fora:
\vec{u}\cdot\big(\lambda(\vec{v}\times\vec{w})\big)=\lambda\big(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big)=\lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

Passo 7

  1. Verificar [\vec{u},\vec{v},\lambda\vec{w}]=\lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]:
[\vec{u},\vec{v},\lambda\vec{w}] = \vec{u}\cdot\big(\vec{v}\times(\lambda\vec{w})\big).
Pela bilinearidade do produto vetorial (Passo 4), \vec{v}\times(\lambda\vec{w})=\lambda(\vec{v}\times\vec{w}). Seguem os mesmos passos do caso anterior:
\vec{u}\cdot\big(\vec{v}\times(\lambda\vec{w})\big)=\vec{u}\cdot\big(\lambda(\vec{v}\times\vec{w})\big)=\lambda\big(\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})\big)=\lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

Passo 8

Resumo e pequeno exemplo numérico para “ver com os olhos” (sem complexidade): escolha \vec{u}=(1,0,0), \vec{v}=(0,1,0), \vec{w}=(0,0,1) e \lambda=3. Então
[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})= (1,0,0)\cdot(0,0,1) = 0\cdot0+0\cdot0+1\cdot1 = 1.
Multiplicando \vec{u} por \lambda,
[\lambda\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=(3,0,0)\cdot(0,0,1)=3,
e isso é \lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=3\cdot 1=3. Mesma verificação funciona colocando \lambda em \vec{v} ou \vec{w}. Isso ilustra na prática que o escalar sai do produto triplo.

Resposta

\lambda[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\lambda \vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\lambda \vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\lambda \vec{w}]

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