Verifique as seguintes propriedades, onde
são vetores, e
são escalares:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a igualdade
onde
são vetores em
e
é um escalar. Vou listar as informações dadas:
- A notação
indica o produto escalar misto (produto triplo escalar). - O objetivo é mostrar que um escalar pode ser “fatorado” para fora do produto triplo qualquer que seja a posição em que se multiplica um dos vetores por
.
Passo 2
Definição e ideia principal (sem pular etapas): o produto escalar misto é definido por
Explicando cada operação:
-
é o produto vetorial entre e ; resulta num vetor em . -
é o produto escalar entre e o vetor resultado do produto vetorial; resulta num número real.
A propriedade que vamos usar é a linearidade do produto escalar em cada argumento e a bilinearidade do produto vetorial em seus dois argumentos: constantes multiplicativas saem dos produtos.
Passo 3
Propriedade do produto escalar (fatoração por um escalar): para quaisquer vetores
e escalar
,
Prova rápida e didática: escrevendo em componentes
e
,
Isto mostra que um escalar multiplicando um dos fatores do produto escalar pode ser puxado para fora.
Passo 4
Propriedade do produto vetorial (fatoração por um escalar): para quaisquer vetores
e escalar
,
Prova rápida e didática: escrevendo o produto vetorial por determinante ou por componentes, cada componente do vetor
é soma/diferença de produtos do tipo
. Se
é multiplicado por
, todos os termos
ficam
, daí a saída comum
. Mesma ideia se
for multiplicado.
Passo 5
Agora uso as propriedades anteriores para verificar as igualdades uma a uma.
- Verificar
:
Pela linearidade do produto escalar (Passo 3),
Passo 6
- Verificar
:
Pela bilinearidade do produto vetorial (Passo 4),
. Então
Agora uso a propriedade do produto escalar (Passo 3) para tirar
para fora:
Passo 7
- Verificar
:
Pela bilinearidade do produto vetorial (Passo 4),
. Seguem os mesmos passos do caso anterior:
Passo 8
Resumo e pequeno exemplo numérico para “ver com os olhos” (sem complexidade): escolha
,
,
e
. Então
Multiplicando
por
,
e isso é
. Mesma verificação funciona colocando
em
ou
. Isso ilustra na prática que o escalar sai do produto triplo.