Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
n[1-cos (1n)]

Passo 1

O enunciado pede para estudar a sequência
an = nl[1 - cosl(tfrac1nr)r]
em termos de convergência e, caso converja, determinar seu limite. O conteúdo necessário é o comportamento de cos(x) perto de x=0, que pode ser abordado via desenvolvimento em série de Taylor ou pelo uso de l’Hôpital.

Passo 2

Para facilitar o cálculo, faça a mudança de variável
x = 1n,
de modo que n = 1/x. Então
an = nl[1 - cos(1/n)r] = 1xl[1 - cos(x)r] = 1 - cos(x)x,
e à medida que n to infty, temos x to 0^+. Logo, basta avaliar
limxto0^+1 - cos(x)x

Passo 3

Calculamos
limxto01 - cos(x)x
usando l’Hôpital, pois tanto numerador quanto denominador tendem a zero:
limxto01 - cos(x)x =limxto0sin(x)1 =sin(0) =0

Passo 4

Como limxto0(1-cos(x))/x = 0, segue que
limntoinftyan = 0
Portanto, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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