Verifique se as seguintes sequências convergem ou divergem. Se convergir encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a sequência
em termos de convergência e, caso converja, determinar seu limite. O conteúdo necessário é o comportamento de
perto de
, que pode ser abordado via desenvolvimento em série de Taylor ou pelo uso de l’Hôpital.
Passo 2
Para facilitar o cálculo, faça a mudança de variável
de modo que
. Então
e à medida que
, temos
. Logo, basta avaliar
Passo 3
Calculamos
usando l’Hôpital, pois tanto numerador quanto denominador tendem a zero:
Passo 4
Como
, segue que
Portanto, a sequência converge.
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.