Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}.
Estamos num curso de cálculo de séries numéricas e vamos usar o teste da raiz (root test) para decidir se essa série converge ou diverge.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_{n} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}.
O teste da raiz consiste em calcular
L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}}
e comparar L com 1: se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular a raiz n-ésima de a_{n}:
\sqrt[n]{a_{n}} = \biggl[\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}\biggr]^{1/n} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite
\lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr)^{n}.
Como sabemos que \bigl(1 - \tfrac{1}{n+1}\bigr)^{n+1}\to e^{-1}, temos
\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr)^{n} =\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr)^{n+1}\Bigl(1 - \frac{1}{n+1}\Bigr)^{-1} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; e^{-1}\cdot1 = e^{-1}.
Portanto
L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_{n}} = e^{-1}<1.

Passo 5

Como L=e^{-1}<1, o teste da raiz garante que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n^{2}}
converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série é convergente.

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