Aqui vamos usar dois testes: o teste de Leibniz (séries alternadas) para verificar convergência condicional e o teste de comparação com a harmônica para ver se ela converge absolutamente.
Passo 2
Observe o valor de \operatorname{sen}\bigl(k\pi/2\bigr) conforme k modulo 4:
para k=4j+1, \operatorname{sen}\bigl((4j+1)\pi/2\bigr)=+1,
para k=4j+2, \operatorname{sen}\bigl((4j+2)\pi/2\bigr)=0,
para k=4j+3, \operatorname{sen}\bigl((4j+3)\pi/2\bigr)=-1,
para k=4j+4, \operatorname{sen}\bigl((4j+4)\pi/2\bigr)=0.
Logo só aparecem termos não nulos quando k é ímpar, e podemos reescrever
é uma série alternada em j, pois os sinais de \frac{1}{4j+1} e -\frac{1}{4j+3} se alternam quando consideramos os grupos de termos não nulos. Além disso, a sequência \,b_j=\frac{1}{2j+1}
é positiva, monótona decrescente e \lim_{j\to\infty}b_j=0. Pelo teste de Leibniz, a série convergente alternada garante que
Mas \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{4j+1} e \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{4j+3} são sub-séries da série harmônica (pais), que divergem. Portanto a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente (pelo teste de Leibniz) e diverge em valor absoluto.