Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sen}\left(\frac{k \pi}{2}\right)}{k}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}\!\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr)}{k}.
Aqui vamos usar dois testes: o teste de Leibniz (séries alternadas) para verificar convergência condicional e o teste de comparação com a harmônica para ver se ela converge absolutamente.

Passo 2

Observe o valor de \operatorname{sen}\bigl(k\pi/2\bigr) conforme k modulo 4:
  • para k=4j+1, \operatorname{sen}\bigl((4j+1)\pi/2\bigr)=+1,
  • para k=4j+2, \operatorname{sen}\bigl((4j+2)\pi/2\bigr)=0,
  • para k=4j+3, \operatorname{sen}\bigl((4j+3)\pi/2\bigr)=-1,
  • para k=4j+4, \operatorname{sen}\bigl((4j+4)\pi/2\bigr)=0.
    Logo só aparecem termos não nulos quando k é ímpar, e podemos reescrever
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\operatorname{sen}\bigl(\frac{k\pi}{2}\bigr)}{k} =\sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{4j+1}-\frac{1}{4j+3}\Bigr).

Passo 3

Antes de tudo, note que o termo geral tende a zero:
\lim_{j\to\infty}\Bigl(\frac{1}{4j+1}-\frac{1}{4j+3}\Bigr)=0.
Isso é necessário (mas não garante convergência) para qualquer série infinita.

Passo 4

O somatório
\sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{4j+1}-\frac{1}{4j+3}\Bigr)
é uma série alternada em j, pois os sinais de \frac{1}{4j+1} e -\frac{1}{4j+3} se alternam quando consideramos os grupos de termos não nulos. Além disso, a sequência \,b_j=\frac{1}{2j+1}
é positiva, monótona decrescente e \lim_{j\to\infty}b_j=0. Pelo teste de Leibniz, a série convergente alternada garante que
\sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{4j+1}-\frac{1}{4j+3}\Bigr)
converge. Logo, a nossa série original converge (pelo menos) condicionalmente.

Passo 5

Para verificar convergência absoluta, considere
\sum_{k=1}^{\infty}\Bigl|\frac{\operatorname{sen}(k\pi/2)}{k}\Bigr| =\sum_{j=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{4j+1}+\frac{1}{4j+3}\Bigr).
Mas \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{4j+1} e \sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{4j+3} são sub-séries da série harmônica (pais), que divergem. Portanto a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente (pelo teste de Leibniz) e diverge em valor absoluto.

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