Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{2^{k+2}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{2^{k+2}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas; vamos usar o teste da razão (d’Alembert).

Passo 2

Defina
a_k = \frac{k!}{2^{k+2}}, \quad a_{k+1} = \frac{(k+1)!}{2^{k+3}}.
O teste da razão exige o cálculo de
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{(k+1)!}{2^{k+3}} \cdot \frac{2^{k+2}}{k!} = \frac{k+1}{2}.

Passo 3

Para k grande, \frac{k+1}{2}>1 e \lim_{k\to\infty}\frac{k+1}{2}=\infty. Como a razão não fica menor que 1 (pelo contrário, cresce acima de 1), o teste da razão diz que a série diverge. Além disso, como \frac{k!}{2^{k+2}} nem sequer tende a zero, não há convergência possível.

Resposta

A série é divergente.

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