Verifique se os seguintes subconjuntos de
são subespaços. Nos casos em que o subconjunto não é subespaço, quais propriedades não se verificam?
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
e pede para verificar se
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
-
deve conter o vetor zero. -
deve ser fechado sob adição. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
Como o primeiro componente desse vetor é
, concluímos que
Logo,
já falha a primeira condição de subespaço.
Passo 3
Para ilustrar a falha na adição, tomemos dois vetores quaisquer em
:
Então
Como o primeiro componente de
é
, temos
. Assim,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Para ver a falha na multiplicação por escalar, tomemos um vetor genérico em
e um escalar
:
Ao multiplicar por
, obtemos
Em geral
, então
. Logo,
não é fechado sob multiplicação por escalar.