Verifique se os seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços. Nos casos em que o subconjunto não é subespaço, quais propriedades não se verificam?
W=(x, y, z) in R^3 mid x=1

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
W = (x,y,z)inR^3 mid x = 1
e pede para verificar se W é subespaço vetorial de R^3. Para isso, vamos usar o critério padrão de subespaço:
  1. W deve conter o vetor zero.
  2. W deve ser fechado sob adição.
  3. W deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero está em W. O vetor zero em R^3 é
(0,0,0)
Como o primeiro componente desse vetor é 0neq1, concluímos que
(0,0,0)notin W
Logo, W já falha a primeira condição de subespaço.

Passo 3

Para ilustrar a falha na adição, tomemos dois vetores quaisquer em W:
u = (1,y1,z1), v = (1,y2,z2)
Então
u + v = (1+1,;y1+y2,;z1+z2) = (2,y1+y2,z1+z2)
Como o primeiro componente de u+v é 2neq1, temos u+vnotin W. Assim, W não é fechado sob adição.

Passo 4

Para ver a falha na multiplicação por escalar, tomemos um vetor genérico em W e um escalar alphainR:
w = (1,y,z)in W
Ao multiplicar por alpha, obtemos
alpha w = (alphacdot1,;alpha y,;alpha z) = (alpha,alpha y,alpha z)
Em geral alphaneq1, então alpha wnotin W. Logo, W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço de R^3. Falha em conter o vetor zero, em ser fechado sob adição e em ser fechado sob multiplicação por escalar.

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