Sejam u=(1,1,1), v=(0,1,1) e w=(1,1,0) vetores no espaço.
Mostre que se z=0 então as componentes de z na base formada por u, v, w são todas iguais a zero.

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em R^3:
u=(1,1,1), v=(0,1,1) e w=(1,1,0).
Queremos ver que se z=0 e escrevemos
z = alpha,u + beta,v + gamma,w,
então os coeficientes alpha,beta,gamma (as componentes de z nessa base) são todos zero.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando a 0=(0,0,0), temos
alpha,(1,1,1) + beta,(0,1,1) + gamma,(1,1,0) = (0,0,0)
Isso gera o sistema em componentes:
alpha + 0cdotbeta + gamma = 0, alpha + beta + gamma = 0, alpha + beta + 0cdotgamma = 0

Passo 3

Vamos resolver passo a passo:
  1. Da primeira equação alpha + gamma = 0.
  2. Da terceira alpha + beta = 0.
  3. Subtraindo a primeira da segunda, (alpha+beta+gamma)-(alpha+gamma)=beta=0.
  4. Com beta=0, a terceira dá alpha=0.
  5. Com alpha=0, a primeira dá gamma=0.
    Logo alpha=beta=gamma=0.

Resposta

As componentes de z na base u,v,w são
(alpha,beta,gamma) = (0,0,0)

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