Sejam
vetores no espaço.
Mostre que se
então as componentes de
na base formada por
são todas iguais a zero.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores em
:
,
e
.
Queremos ver que se e escrevemos
Queremos ver que se
então os coeficientes
(as componentes de
nessa base) são todos zero.
Passo 2
Escrevendo a combinação linear e igualando a
, temos
Isso gera o sistema em componentes:
Passo 3
Vamos resolver passo a passo:
- Da primeira equação
.alpha + gamma = 0 - Da terceira
.alpha + beta = 0 - Subtraindo a primeira da segunda,
.(alpha+beta+gamma)-(alpha+gamma)=beta=0 - Com
, a terceira dábeta=0 .alpha=0 - Com
, a primeira dáalpha=0 .gamma=0
Logo .alpha=beta=gamma=0
Resposta
As componentes de
z na base
u,v,w são