Determine m, n de modo que os vetores u, v sejam LD, onde:
u=(1, m, n+1) v=(m, n, 2)

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em R^3:
u = (1, m, n+1) e v = (m, n, 2), e pede os valores de m,n para que eles sejam linearmente dependentes. O conteúdo necessário é a condição de dependência linear para dois vetores em R^3: um deve ser múltiplo escalar do outro.

Passo 2

Vetores u e v são LD se existir lambda tal que
u = lambda,v
Isso gera o sistema de equações
1 = lambda,m,
m = lambda,n e
n+1 = 2,lambda.

Passo 3

Da primeira equação, assumindo mneq 0, tem-se
lambda = 1m
Substituindo em m = lambda,n obtém-se
m = 1m,n Longrightarrow n = m^2
E em n+1 = 2,lambda vem
n + 1 = 2cdot1m Longrightarrow n + 1 = 2m

Passo 4

Substituindo n = m^2 em m^2 + 1 = tfrac2m resulta
m^2 + 1 = 2m Longrightarrow m^3 + m - 2 = 0
Fatorando,
m^3 + m - 2 = (m-1),(m^2 + m + 2) = 0,
cuja única raiz real é m=1 (as outras são complexas).

Passo 5

Para m=1, temos n = m^2 = 1. Note que m=0 não serve pois geraria divisão por zero em lambda. Assim, a única solução real é
m = 1, n = 1

Resposta

m = 1,; n = 1.

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