Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos): Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes cujos tamanhos são apropriados para as operações indicadas.
Dada a equação matricial X^2+2 X=O, onde X é uma matriz quadrada de ordem n, não singular ( det X neq 0 ). Então esta equação tem única solução.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação matricial
X^2 + 2X = O
onde X é matriz quadrada de ordem n com det Xneq0, possui solução única.
Conteúdo: manipulação de polinômio matricial e uso de inversibilidade para “cancelar” fatores.

Passo 2

Reescrevemos 2X como 2Icdot X e fatoramos à direita:
X^2 + 2X = Xcdot X + 2Icdot X = (X + 2I),X = O

Passo 3

Como det Xneq0, existe X^-1. Multiplicamos a equação anterior à direita por X^-1, obtendo
X + 2I = O

Passo 4

Da última igualdade segue
X = -2I,
que de fato satisfaz X^2+2X = (-2I)^2+2(-2I)=4I -4I = O.

Resposta

A afirmativa é verdadeira, e a única solução invertível é
X = -2I

Exercícios relacionados