Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos): Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes cujos tamanhos são apropriados para as operações indicadas.
det(-A)=-det(A).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para qualquer matriz quadrada A de ordem n, vale sempre
det(-A) = -det(A)
O conteúdo aqui é a propriedade de homogeneidade do determinante, que diz como o determinante se comporta quando multiplicamos a matriz por um escalar.

Passo 2

Recordamos a propriedade geral de determinantes: se A é ntimes n e lambda é escalar, então
det(lambda A) = lambda^n,det(A)

Passo 3

Aplicando essa propriedade com lambda = -1, obtemos
det(-A) = (-1)^n,det(A)

Passo 4

Dessa expressão segue que
  • se n é ímpar, então (-1)^n = -1 e det(-A) = -det(A);
  • se n é par, então (-1)^n = 1 e det(-A) = det(A)neq -det(A) (a menos que det(A)=0).
Logo, a igualdade det(-A)=-det(A) só é garantida quando a ordem n de A for ímpar, mas falha em geral.

Passo 5

Como contra-exemplo para ordem par, tome A=I2, a identidade 2times2. Então
det(-I2) = (-1)^2det(I2) = 1,
porém
-det(I2) = -1,
e 1neq -1. Isso mostra que a afirmação é falsa de modo geral.

Resposta

A afirmativa é falsa em geral. Ela só vale para matrizes de ordem ímpar; em ordem par existe contra-exemplo, por exemplo A=I2.

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