Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos): Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes cujos tamanhos são apropriados para as operações indicadas.
.
Passo 1
O enunciado pergunta se, para qualquer matriz quadrada
de ordem
, vale sempre
O conteúdo aqui é a propriedade de homogeneidade do determinante, que diz como o determinante se comporta quando multiplicamos a matriz por um escalar.
Passo 2
Recordamos a propriedade geral de determinantes: se
é
e
é escalar, então
Passo 3
Aplicando essa propriedade com
, obtemos
Passo 4
Dessa expressão segue que
- se
é ímpar, então e ; - se
é par, então e (a menos que ).
Logo, a igualdade
só é garantida quando a ordem
de
for ímpar, mas falha em geral.
Passo 5
Como contra-exemplo para ordem par, tome
, a identidade
. Então
porém
e
. Isso mostra que a afirmação é falsa de modo geral.
Resposta
A afirmativa é falsa em geral. Ela só vale para matrizes de ordem ímpar; em ordem par existe contra-exemplo, por exemplo
.