Dada a reta
s=(c -2 1 0 )+t(c 1 -1 3 ), t in R,
mostre que o ponto P=(1,2,3) notin s e equacione o plano determinado por s e P.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
s = -210 + t 1-13 : tinR
e o ponto P=(1,2,3). Precisamos (a) mostrar que não existe t em R que leve o vetor da reta a P, e (b) determinar a equação do plano que contém a reta s e o ponto P.

Passo 2

Para ver se
Da primeira equação vem que satisfaz todas ao mesmo tempo. Portanto .

Passo 3

Para achar o plano usamos dois vetores diretores que pertencem a ele:
(1) v = (1,-1,3), direção da reta s;
(2) AP, onde A=(-2,1,0) é um ponto da reta e P=(1,2,3). Então
AP = 1 - (-2)2 - 13 - 0 = 313

Passo 4

O vetor normal n do plano é dado pelo produto vetorial
n = v times AP = i & j & k 1 & -1 & 3 3 & 1 & 3 = -664
Podemos simplificar por 2 e usar
n=(-3,3,2).

Passo 5

A equação do plano em forma normal é
Como e , fica

Resposta

Pnotin s e a equação do plano determinado por s e P é
-3x + 3y + 2z - 9 = 0

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