Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos): Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes cujos tamanhos são apropriados para as operações indicadas.
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear homogêneo é sempre um vetor solução do sistema.
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear homogêneo é sempre um vetor solução do sistema.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear homogêneo
onde
é uma matriz de tamanho apropriado e
é o vetor incógnita. Ele pergunta se, dadas duas soluções
e
(isto é,
e
), a soma
também é solução. O conteúdo aqui é a linearidade de transformações lineares e o fato de que o conjunto solução de um sistema homogêneo é um subespaço vetorial.
Passo 2
Como
representa uma transformação linear, vale a propriedade de aditividade: para quaisquer vetores
e
,
Se
e
são soluções, temos
e
. Logo,
Isso mostra que
satisfaz
, ou seja, é também vetor solução.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.