Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta (isto é, se forem verdadeiras mostre e se forem falsas encontre contra-exemplos): Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes cujos tamanhos são apropriados para as operações indicadas.
A soma de dois vetores soluções de um sistema linear homogêneo é sempre um vetor solução do sistema.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema linear homogêneo
A x = 0,
onde A é uma matriz de tamanho apropriado e x é o vetor incógnita. Ele pergunta se, dadas duas soluções v e w (isto é, A v=0 e A w=0), a soma v+ w também é solução. O conteúdo aqui é a linearidade de transformações lineares e o fato de que o conjunto solução de um sistema homogêneo é um subespaço vetorial.

Passo 2

Como A representa uma transformação linear, vale a propriedade de aditividade: para quaisquer vetores v e w,
A( v + w) ;=; A v + A w
Se v e w são soluções, temos A v=0 e A w=0. Logo,
A( v + w) = A v + A w = 0 + 0 = 0
Isso mostra que v+ w satisfaz A( v+ w)=0, ou seja, é também vetor solução.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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