Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge. Se convergir, encontrar o limite. Informações dadas: expressão geral da sequência e que
tende a infinito por inteiros positivos.
Passo 2
Primeiro vou verificar o sinal do denominador para entender o sinal dos termos. Calculo
:
Como a função
é crescente para
, temos
para todo
. Portanto o denominador
é sempre negativo para
. Conclusão: todos os termos
são negativos.
Passo 3
Para entender o comportamento quando
, fatoro a maior potência exponencial que aparece no denominador — neste caso
— dividindo numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora analiso os limites das partes que compõem essa expressão quando
.
-
quando (exponencial cresce sem limite). -
quando , logo .
Assim, o numerador tende a
e o denominador tende a um número fixo negativo (
). Quando uma fração tem numerador que vai a
e denominador que tende para um número fixo negativo diferente de zero, a fração tende para
. Portanto
Passo 5
(Argumento ligeiramente mais rígido.) Como
, existe
tal que para todo
se tem
. Para esses
o denominador satisfaz
Então, para
,
Como
, o lado direito tende a
; portanto
. Isso mostra que a sequência não converge para um número real finito — ela diverge para
.
Resposta
A sequência diverge;
.