Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
\left\{\frac{\mathbf{e}^{5 n}}{3-\mathbf{e}^{2 n}}\right\}_{n=1}^{\infty}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
a_n=\frac{\mathbf{e}^{5 n}}{3-\mathbf{e}^{2 n}},\qquad n=1,2,3,\dots
converge. Se convergir, encontrar o limite. Informações dadas: expressão geral da sequência e que n tende a infinito por inteiros positivos.

Passo 2

Primeiro vou verificar o sinal do denominador para entender o sinal dos termos. Calculo \mathbf{e}^{2}:
\mathbf{e}^{2}\approx 7,389\\ >3.
Como a função n\mapsto\mathbf{e}^{2n} é crescente para n\ge 1, temos \mathbf{e}^{2n}>\mathbf{e}^{2}>3 para todo n\ge 1. Portanto o denominador 3-\mathbf{e}^{2n} é sempre negativo para n\ge1. Conclusão: todos os termos a_n são negativos.

Passo 3

Para entender o comportamento quando n\to\infty, fatoro a maior potência exponencial que aparece no denominador — neste caso \mathbf{e}^{2n} — dividindo numerador e denominador por \mathbf{e}^{2n}:
a_n=\frac{\mathbf{e}^{5n}}{3-\mathbf{e}^{2n}} =\frac{\mathbf{e}^{5n}/\mathbf{e}^{2n}}{3/\mathbf{e}^{2n}-1} =\frac{\mathbf{e}^{3n}}{3\,\mathbf{e}^{-2n}-1}.

Passo 4

Agora analiso os limites das partes que compõem essa expressão quando n\to\infty.
  • \displaystyle \mathbf{e}^{3n}\to +\infty quando n\to\infty (exponencial cresce sem limite).
  • \displaystyle \mathbf{e}^{-2n}\to 0 quando n\to\infty, logo 3\,\mathbf{e}^{-2n}-1\to -1.
Assim, o numerador tende a +\infty e o denominador tende a um número fixo negativo ( -1). Quando uma fração tem numerador que vai a +\infty e denominador que tende para um número fixo negativo diferente de zero, a fração tende para -\infty. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty.

Passo 5

(Argumento ligeiramente mais rígido.) Como \mathbf{e}^{-2n}\to 0, existe N tal que para todo n\ge N se tem 3\,\mathbf{e}^{-2n}<\tfrac{1}{2}. Para esses n o denominador satisfaz
3\,\mathbf{e}^{-2n}-1 < -\tfrac{1}{2}.
Então, para n\ge N,
a_n=\frac{\mathbf{e}^{3n}}{3\,\mathbf{e}^{-2n}-1}\le \frac{\mathbf{e}^{3n}}{-\tfrac{1}{2}} = -2\,\mathbf{e}^{3n}.
Como \mathbf{e}^{3n}\to+\infty, o lado direito tende a -\infty; portanto a_n\to -\infty. Isso mostra que a sequência não converge para um número real finito — ela diverge para -\infty.

Resposta

A sequência diverge; \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\mathbf{e}^{5 n}}{3-\mathbf{e}^{2 n}}=-\infty.

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