Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a sequência
converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite. As informações relevantes são:
- A fórmula geral do
-ésimo termo é . - A variável
vai para o infinito ( ) quando perguntamos sobre convergência.
Passo 2
Primeiro simplifico o sinal alternante: use a propriedade de potências
. Assim
Logo podemos reescrever o termo geral como
Passo 3
Uma boa estratégia é estudar o módulo (valor absoluto) do termo, porque o sinal
só alterna entre
e
. Calculo
Estudar
ajuda porque se
então necessariamente
(um número com módulo tendendo a zero converge a zero).
Passo 4
Faço uma desigualdade simples para obter um majorante que tenha limite conhecido. Como
para todo
, temos
Portanto
para todo
.
Passo 5
Sei que
quando
. (Breve justificativa: dado
, escolher
garante que para todo
tem-se
.) Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem) à desigualdade
conclui-se que
quando
.
Passo 6
Como
, segue que
. Outra maneira alternativa (mais algébrica) de ver isso é dividir numerador e denominador por
:
Aqui
e the factor
, enquanto
é apenas uma sequência limitada (entre
e
). Produto de uma sequência que tende a
por uma sequência limitada tende a
. Resultado consistente com o passo anterior.
Passo 7
Conclusão final: a sequência converge e o limite é
. Um lembrete rápido para a prova: quando aparecer um termo com potência do numerador menor que a do denominador (aqui
vs
), a tendência é que o termo vá para zero; se houver fator alternante
, controlar o módulo com uma desigualdade é uma maneira segura e rápida de concluir.