Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
\left(\frac{(-1)^{m-2} m^{2}}{4+m^{3}}\right)_{m \in \mathbb{N}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
\left(\frac{(-1)^{m-2} m^{2}}{4+m^{3}}\right)_{m\in\mathbb{N}}
converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite. As informações relevantes são:
  • A fórmula geral do m-ésimo termo é \dfrac{(-1)^{m-2} m^{2}}{4+m^{3}}.
  • A variável m vai para o infinito ( m\to\infty) quando perguntamos sobre convergência.

Passo 2

Primeiro simplifico o sinal alternante: use a propriedade de potências (-1)^{a+b}=(-1)^a(-1)^b. Assim
(-1)^{m-2}=(-1)^m(-1)^{-2}=(-1)^m\cdot 1 = (-1)^m.
Logo podemos reescrever o termo geral como
a_m=\frac{(-1)^m m^{2}}{m^{3}+4}.

Passo 3

Uma boa estratégia é estudar o módulo (valor absoluto) do termo, porque o sinal (-1)^m só alterna entre +1 e -1. Calculo
|a_m|=\frac{m^{2}}{m^{3}+4}.
Estudar |a_m| ajuda porque se |a_m|\to 0 então necessariamente a_m\to 0 (um número com módulo tendendo a zero converge a zero).

Passo 4

Faço uma desigualdade simples para obter um majorante que tenha limite conhecido. Como m^{3}+4\ge m^{3} para todo m\in\mathbb{N}, temos
0\le |a_m|=\frac{m^{2}}{m^{3}+4}\le \frac{m^{2}}{m^{3}}=\frac{1}{m}.
Portanto 0\le |a_m|\le \dfrac{1}{m} para todo m.

Passo 5

Sei que \dfrac{1}{m}\to 0 quando m\to\infty. (Breve justificativa: dado \varepsilon>0, escolher N>\dfrac{1}{\varepsilon} garante que para todo m\ge N tem-se \dfrac{1}{m}\le\dfrac{1}{N}<\varepsilon.) Aplicando o Teorema do Confronto (squeeze theorem) à desigualdade
0\le |a_m|\le \frac{1}{m},
conclui-se que |a_m|\to 0 quando m\to\infty.

Passo 6

Como |a_m|\to 0, segue que a_m\to 0. Outra maneira alternativa (mais algébrica) de ver isso é dividir numerador e denominador por m^{3}:
a_m = (-1)^m\frac{m^{2}}{m^{3}+4}=(-1)^m\frac{1/m}{1+4/m^{3}}.
Aqui \dfrac{1}{m}\to 0 e the factor \dfrac{1}{1+4/m^{3}}\to 1, enquanto (-1)^m é apenas uma sequência limitada (entre -1 e 1). Produto de uma sequência que tende a 0 por uma sequência limitada tende a 0. Resultado consistente com o passo anterior.

Passo 7

Conclusão final: a sequência converge e o limite é 0. Um lembrete rápido para a prova: quando aparecer um termo com potência do numerador menor que a do denominador (aqui m^{2} vs m^{3}), a tendência é que o termo vá para zero; se houver fator alternante (-1)^m, controlar o módulo com uma desigualdade é uma maneira segura e rápida de concluir.

Resposta

0

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