Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
\left(\frac{m^{2}-7 m+3}{1+10 m-4 m^{2}}\right)_{m \in \mathbb{N}}, \quad m \geq 3

Passo 1

O enunciado fornece a sequência
\left(\frac{m^{2}-7 m+3}{1+10 m-4 m^{2}}\right)_{m\in\mathbb{N}},\qquad m\ge 3,
e pede para verificar se essa sequência converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite.
Informações relevantes que temos:
  • O termo geral é \displaystyle a_m=\frac{m^{2}-7 m+3}{1+10 m-4 m^{2}}.
  • O domínio indicado é m\in\mathbb{N} com m\ge 3.
  • Precisamos decidir convergência quando m\to\infty e, se convergir, determinar \displaystyle\lim_{m\to\infty} a_m.

Passo 2

Primeiro verifico se os termos estão bem definidos para todos os m\ge 3, ou seja, se o denominador nunca é zero para esses m. O denominador é 1+10m-4m^{2}. As raízes reais da equação
1+10m-4m^{2}=0
são
m=\frac{10\pm\sqrt{100+16}}{8}=\frac{10\pm\sqrt{116}}{8}=\frac{5\pm\sqrt{29}}{4}.
Essas raízes são aproximadamente m\approx 2,596 e m\approx -0,096. Como m é natural e m\ge 3, nenhum m do domínio anula o denominador. Portanto todos os termos a_m estão bem definidos para m\ge 3.

Passo 3

Vou usar um método padrão para limites de quocientes de polinômios quando m\to\infty: se temos uma sequência do tipo \dfrac{P(m)}{Q(m)} com P e Q polinômios, o comportamento assintótico é determinado pelos termos de maior grau. Em particular, se \deg P=\deg Q=d então
\lim_{m\to\infty}\frac{P(m)}{Q(m)}=\frac{\text{coeficiente\\ principal\\ de\\ }P}{\text{coeficiente\\ principal\\ de\\ }Q}.
Aqui P(m)=m^{2}-7m+3 e Q(m)=1+10m-4m^{2} têm ambos grau 2. Os coeficientes principais são 1 (em m^{2}) para P e -4 (em m^{2}) para Q. Vou justificar esse resultado de forma elementar dividindo numerador e denominador por m^{2}.

Passo 4

Divido numerador e denominador por m^{2} e considero o limite:
a_m=\frac{m^{2}-7m+3}{1+10m-4m^{2}} =\frac{\dfrac{m^{2}}{m^{2}}-\dfrac{7m}{m^{2}}+\dfrac{3}{m^{2}}}{\dfrac{1}{m^{2}}+\dfrac{10m}{m^{2}}-\dfrac{4m^{2}}{m^{2}}} =\frac{1-\dfrac{7}{m}+\dfrac{3}{m^{2}}}{\dfrac{1}{m^{2}}+\dfrac{10}{m}-4}.

Passo 5

Agora estudo os limites de cada parcela quando m\to\infty. Sabendo que \dfrac{1}{m}\to 0 e \dfrac{1}{m^{2}}\to 0, segue que
\lim_{m\to\infty}\left(1-\dfrac{7}{m}+\dfrac{3}{m^{2}}\right)=1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{m\to\infty}\left(\dfrac{1}{m^{2}}+\dfrac{10}{m}-4\right)=-4.
Como o limite do denominador é -4\neq 0, podemos tomar o limite do quociente e obter
\lim_{m\to\infty} a_m=\frac{1}{-4}=-\frac{1}{4}.

Passo 6

Concluo que a sequência converge, porque o limite acima existe finito. O limite é -\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Para intuição rápida, veja alguns termos numéricos (apenas para sentir a aproximação):
a_3=\frac{3^{2}-7\cdot3+3}{1+10\cdot3-4\cdot3^{2}}=\frac{9-21+3}{1+30-36}=\frac{-9}{-5}=\frac{9}{5}=1{,}8,
a_{10}=\frac{100-70+3}{1+100-400}=\frac{33}{-299}\approx -0{,}1104,
esses valores mostram que, embora comece positivo, os termos passam a valores próximos de -0{,}25 conforme m cresce.

Resposta

-\dfrac{1}{4}

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