Verifique se a sequência converge. Caso convirja, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado fornece a sequência
e pede para verificar se essa sequência converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- O termo geral é
. - O domínio indicado é
com . - Precisamos decidir convergência quando
e, se convergir, determinar .
Passo 2
Primeiro verifico se os termos estão bem definidos para todos os
, ou seja, se o denominador nunca é zero para esses
. O denominador é
. As raízes reais da equação
são
Essas raízes são aproximadamente
e
. Como
é natural e
, nenhum
do domínio anula o denominador. Portanto todos os termos
estão bem definidos para
.
Passo 3
Vou usar um método padrão para limites de quocientes de polinômios quando
: se temos uma sequência do tipo
com
e
polinômios, o comportamento assintótico é determinado pelos termos de maior grau. Em particular, se
então
Aqui
e
têm ambos grau
. Os coeficientes principais são
(em
) para
e
(em
) para
. Vou justificar esse resultado de forma elementar dividindo numerador e denominador por
.
Passo 4
Divido numerador e denominador por
e considero o limite:
Passo 5
Agora estudo os limites de cada parcela quando
. Sabendo que
e
, segue que
Como o limite do denominador é
, podemos tomar o limite do quociente e obter
Passo 6
Concluo que a sequência converge, porque o limite acima existe finito. O limite é
.
Passo 7
Para intuição rápida, veja alguns termos numéricos (apenas para sentir a aproximação):
esses valores mostram que, embora comece positivo, os termos passam a valores próximos de
conforme
cresce.