Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Se verdadeiro, justifique. Se falso, dê um contraexemplo que mostra a falsidade da afirmação.
(1 ponto) Se \left\{a_{n}\right\} é uma sequência de números tais que a_{n} \geq 0 e \lim a_{n}=0, então

Passo 1

O que o enunciado nos dá (peguei estas informações do texto enviado):
  • Uma sequência \{a_n\} com a_n \ge 0 para todo n.
  • \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0.
O que o enunciado pede:
  • A frase termina em “então” e não foi dada a afirmação que devemos avaliar (falsa ou verdadeira). Como a conclusão que deve ser testada não foi fornecida, não há uma afirmação específica para decidir.

Passo 2

O que posso fazer sem a afirmação: explicar como você decide se uma afirmação do tipo “Se \{a_n\} tem a_n\ge0 e a_n\to0, então (propriedade P)” é verdadeira ou falsa. Em provas de análise costuma-se:
  • Para mostrar que a afirmação é verdadeira: provar a propriedade P a partir das hipóteses (usar leis de limite, continuidade, desigualdades, teoremas como o do confronto, provas epsilon–N quando necessário).
  • Para mostrar que é falsa: dar um contraexemplo — isto é, fornecer uma sequência \{a_n\} que satisfaz a_n\ge0 e a_n\to0 mas não satisfaz P.
Vou mostrar exemplos didáticos de afirmações típicas e como provar/contradizer, para você aprender a técnica.

Passo 3

Exemplo (afirmação típica falsa). Afirmação P1: “então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge.”
  • Contraexemplo: tome a_n = \dfrac{1}{n}.
  • Verificação das hipóteses: a_n\ge0 e \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0 (pois \lim 1/n = 0).
  • Mas \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} é a série harmônica, que diverge (conhecido e pode ser mostrado por comparação ou agrupamento). Portanto P1 é falsa.
    Comentário didático: o fato a_n\to0 é necessário para convergência da série \sum a_n, mas não é suficiente.

Passo 4

Exemplo (afirmação típica verdadeira). Afirmação P2: “então \sqrt{a_n}\to 0.”
  • Prova direta (epsilon–N): como a_n\ge0 e a_n\to0, dado \varepsilon>0 existe N tal que para n\ge N temos a_n<\varepsilon^2. Assim, para n\ge N tem \sqrt{a_n}<\varepsilon. Logo \sqrt{a_n}\to0.
  • Outra justificativa: a função f(x)=\sqrt{x} é contínua em [0,\infty), e pela propriedade da continuidade \lim f(a_n)=f(\lim a_n)=\sqrt{0}=0.
    Comentário didático: composição com função contínua tende ao valor composto; é uma técnica frequente.

Passo 5

Exemplo (afirmação típica falsa). Afirmação P3: “então n a_n \to 0.”
  • Contraexemplo: tome a_n=\dfrac{1}{n}. Então a_n\ge0 e a_n\to0, mas n a_n = 1 para todo n, logo \lim n a_n = 1 \ne 0. Assim P3 é falsa.
    Comentário didático: multiplicar por uma sequência que cresce pode impedir que o produto tenda a zero.

Passo 6

Exemplo (afirmação típica verdadeira). Afirmação P4: “então a sequência \{a_n\} é limitada (bounded).”
  • Prova: como a_n\to0, existe N tal que para n\ge N temos a_n<1. Defina M = \max\{a_1,a_2,\dots,a_{N-1},1\}. Então para todo n, 0\le a_n\le M. Logo \{a_n\} é limitada.
    Comentário didático: qualquer sequência convergente é limitada; aqui a hipótese de convergência (para 0) garante limite superior e inferior.

Passo 7

Resumo do que você precisa fazer quando receber uma afirmação concreta:
  • Se a afirmação for sobre operações contínuas (ex.: potências, raízes, soma finita, produto por constante), normalmente é verdadeira e se prova com propriedades de limites ou continuidade.
  • Se a afirmação envolver séries, multiplicação por n ou outras operações que ampliam termos, muitas vezes é falsa e é eficaz procurar contraexemplos simples como a_n=1/n, a_n=1/\sqrt{n}, a_n=1/2^n conforme o caso.

Resposta

Não é possível responder: o enunciado está incompleto — não foi dada a conclusão (a afirmação a ser julgada) para decidir se é verdadeira ou falsa.

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