Diga se os itens abaixo são verdadeiros ou falsos. Se verdadeiro, justifique. Se falso, dê um contraexemplo que mostra a falsidade da afirmação.
(1 ponto) Se
é uma sequência de números tais que
e
, então
(1 ponto) Se
Passo 1
O que o enunciado nos dá (peguei estas informações do texto enviado):
- Uma sequência
com para todo . -
.
O que o enunciado pede:
- A frase termina em “então” e não foi dada a afirmação que devemos avaliar (falsa ou verdadeira). Como a conclusão que deve ser testada não foi fornecida, não há uma afirmação específica para decidir.
Passo 2
O que posso fazer sem a afirmação: explicar como você decide se uma afirmação do tipo “Se
tem
e
, então (propriedade P)” é verdadeira ou falsa. Em provas de análise costuma-se:
- Para mostrar que a afirmação é verdadeira: provar a propriedade P a partir das hipóteses (usar leis de limite, continuidade, desigualdades, teoremas como o do confronto, provas epsilon–N quando necessário).
- Para mostrar que é falsa: dar um contraexemplo — isto é, fornecer uma sequência
que satisfaz e mas não satisfaz P.
Vou mostrar exemplos didáticos de afirmações típicas e como provar/contradizer, para você aprender a técnica.
Passo 3
Exemplo (afirmação típica falsa). Afirmação P1: “então
converge.”
- Contraexemplo: tome
. - Verificação das hipóteses:
e (pois ). - Mas
é a série harmônica, que diverge (conhecido e pode ser mostrado por comparação ou agrupamento). Portanto P1 é falsa.
Comentário didático: o fatoé necessário para convergência da série , mas não é suficiente.
Passo 4
Exemplo (afirmação típica verdadeira). Afirmação P2: “então
.”
- Prova direta (epsilon–N): como
e , dado existe tal que para temos . Assim, para tem . Logo . - Outra justificativa: a função
é contínua em , e pela propriedade da continuidade .
Comentário didático: composição com função contínua tende ao valor composto; é uma técnica frequente.
Passo 5
Exemplo (afirmação típica falsa). Afirmação P3: “então
.”
- Contraexemplo: tome
. Então e , mas para todo , logo . Assim P3 é falsa.
Comentário didático: multiplicar por uma sequência que cresce pode impedir que o produto tenda a zero.
Passo 6
Exemplo (afirmação típica verdadeira). Afirmação P4: “então a sequência
é limitada (bounded).”
- Prova: como
, existe tal que para temos . Defina . Então para todo , . Logo é limitada.
Comentário didático: qualquer sequência convergente é limitada; aqui a hipótese de convergência (para) garante limite superior e inferior.
Passo 7
Resumo do que você precisa fazer quando receber uma afirmação concreta:
- Se a afirmação for sobre operações contínuas (ex.: potências, raízes, soma finita, produto por constante), normalmente é verdadeira e se prova com propriedades de limites ou continuidade.
- Se a afirmação envolver séries, multiplicação por
ou outras operações que ampliam termos, muitas vezes é falsa e é eficaz procurar contraexemplos simples como , , conforme o caso.
Resposta
Não é possível responder: o enunciado está incompleto — não foi dada a conclusão (a afirmação a ser julgada) para decidir se é verdadeira ou falsa.